当前位置：首页 > 教育 > 正文

初中数学：证明两条直线垂直的方法（上篇，数学方法技巧归纳）

证明两直线垂直的方法有哪些？

今天我们按照《初中几何，掌握了这套学习方法，数学会得心应手》中的“具体方法归纳法”进行归纳总结如下：

1、利用直角三角形中两锐角之和为90°

由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90° ，即如果一个三角形的有两个角和为90°，那么第三个角必然为90°。

2、利用全等三角形

勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。

3、利用勾股定理的逆定理证明

4、利用等腰三角形“三线合一”证明

要证二线垂直，若能证二线之一是等腰三角形的底边，另一线是等腰三角形顶角的平分线或底边上的中线，则二线互相垂直。

5、利用菱形的对角线互相垂直证明

6、相似三角形证明

7、圆周角定理的推论：

其中方法1、2 为初一知识点；方法3、4为初二知识点；方法5、6、7为初三知识点。

由于篇幅和时间有限，在本篇文章中，我们先讨论1、2、3、4四种方法。

初中数学课堂

一、利用直角三角形中两锐角之和为90°

例1、如图，在平行四边形ABCD中，AE，BF分别平分∠DAB和∠ABC，交边CD于点E，F，线段AE，BF相交于点M．

（1）求证：AE⊥BF；

（2）若EF＝（1/5）AD，则BC：AB的值是　 　．

（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，

∴∠DAB+∠ABC＝180°，

∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，

∴∠DAB＝2∠BAE，∠ABC＝2∠ABF，

∴2∠BAE+2∠ABF＝180°，即∠BAE+∠ABF＝90°，

∴∠AMB＝90°，

∴AE⊥BF；

（2）解：∵在平行四边形ABCD中，CD∥AB，

∴∠DEA＝∠EAB，

又∵AE平分∠DAB，

∴∠DAE＝∠EAB，

∴∠DEA＝∠DAE，

∴DE＝AD，同理可得，CF＝BC，

又∵在平行四边形ABCD中，AD＝BC，

∴DE＝CF，

∴DF＝CE，

∵EF＝（1/5）AD，

∴BC＝AD＝5EF，

∴DE＝5EF，

∴DF＝CE＝4EF，

∴AB＝CD＝9EF，

∴BC：AB＝5：9；

2、利用全等三角形

例2、如图，正方形ABCD中，点E、F、G分别为边AB、BC、AD上的中点，连接AF、DE交于点M，连接GM、CG，CG与DE交于点N，则结论①GM⊥CM；②CD＝DM；③四边形AGCF是平行四边形；④∠CMD＝∠AGM中正确的有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

解：∵AG∥FC且AG＝FC，

∴四边形AGCF为平行四边形，故③正确；

∴∠GAF＝∠FCG＝∠DGC，∠AMN＝∠GND

在△ADE和△BAF中，

∵AE=BF, ∠DAE=∠ABF ,AD=AB

∴△ADE≌△BAF（SAS），

∴∠ADE＝∠BAF，

∵∠ADE+∠AEM＝90°

∴∠EAM+∠AEM＝90°

∴∠AME＝90°

∴∠GND＝90°

∴∠DE⊥AF，DE⊥CG．

∵G点为AD中点，

∴GN为△ADM的中位线，

即CG为DM的垂直平分线，

∴GM＝GD，CD＝CM，故②错误；

在△GDC和△GMC中，

∵DG=MG，CD=CM，CG=CG

∴△GDC≌△GMC（SSS），

∴∠CDG＝∠CMG＝90°，

∠MGC＝∠DGC，

∴GM⊥CM，故①正确；

∵∠CDG＝∠CMG＝90°，

∴G、D、C、M四点共圆，

∴∠AGM＝∠DCM，

∵CD＝CM，

∴∠CMD＝∠CDM，

在Rt△AMD中，∠AMD＝90°，

∴DM＜AD，

∴DM＜CD，

∴∠DMC≠∠DCM，

∴∠CMD≠∠AGM，故④错误．

故选：B．

3、利用勾股定理的逆定理证明

4、利用等腰三角形“三线合一”证明

例4、如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF，求证：

（1）EF⊥AB；

（2）△ACF为等腰三角形

证明：（1）∵AB=AC ，∠BAC=36

∴∠ABC=72 ,BD是∠ABC的平分线

∴∠ABD=36

∴DA=DB

又∵E是AB的中点

∴EF⊥AB

（2）由（1）知BF是AB的垂直平分线

∴FA=FB

∴∠ABF=∠FAB=72

∴∠FAC=72-36=36

∠AFC=72-36=36（外角定理）

∴△ACF为等腰三角形

证明两直线垂直的方法（上篇），由于篇幅和时间有限，今天就介绍到这里，欢迎大家继续关注，证明两直线垂直的方法（下篇）

你可能想看：

初中数学必须掌握的9种证垂直的方法（下篇：数学方法技巧归纳）

由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，∠CAB＝∠ACB：cos∠CAB＝7/8，∵ ∠CAB＝∠ACB，又∵四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD为菱形，...

高中数学必修1 函数单对称、双对称（证明思路、方法和技巧归纳）

则有y=f(x)=2b-f（2a-x）或者f(a+x)=2b-f(a-x)：∵f(x)上关于点（a,∴有2b-y=f(2a-x)，b）对称的表达式是y=f(x)=2b-f（2a-x），也可表示为f(a...

什么是数学证明？四色猜想的证明为何震动了整个数学界？

同时他还指出初等代数和初等几何范围的定理证明是可以实现机械化的，他仅用几分钟的时间就在计算机上证明了罗素和怀特海合著的《数学原理》中的300多条定理，但是这一切技术性的工作并没有太多地引起数学界人士关...

初中数学：12个角度剖析初中数学旋转模型（一）

【小结】本题考查了折叠的性质、旋转的性质、勾股定理的应用，【小结】考查图形的旋转，【小结】此题主要考查了矩形的性质以及坐标与图形的性质和等腰三角形的性质根据△ODP 是腰长为 5的等腰三角形进行分类讨...

数学揭秘，为什么是0的阶乘是1？通过数学方法（伽马函数）证明

从阶乘的定义开始，一个非负整数n的阶乘，是所有小于或等于n的正整数的积。=(n)(n-1)(n-2)(n-3)…(3)(2)(1) 这就得到了一个递归关系。包含三个元素的集合{a,c}有六种排列...

初中数学学霸会用矩形的性质解决简单的证明和计算问题

1、掌握矩形的概念、判定与性质，理解矩形与平行四边形的之间的联系；2、会用矩形的性质解决简单的证明和计算问题；3、从矩形与平行四边形的区别与联系体会特殊与一般的关系，1.利用矩形的性质解决边和角的问题...

琚凌杰：总结一些微信群运营管理的方法技巧和经验

其实归根到底的目的就是为了推广，那这样的群就是用来推广产品、个人品牌等等，其实就是做推广，在做推广的同时也建立了一个大家平等交流的平台。做好微信群运营的方法技巧和经验。1、做好微信群定位目标用户定位充...

数学方法 | 一般化与特殊化（“数学思想方法导引”第23讲/共36讲）

在数学研究及数学问题解决中，一般化与特殊化是常用的方法与手段。它是一种数学思维方法。普遍化就是从考虑一个对象过渡到考虑包含该对象的一个集合;一般化在数学学习中”有助于数学规律的发现和有助于解题路径的获...

数学方法 | 数形结合（“数学思想方法导引”第26讲/共36讲）

数缺形时少直观“形离数时难入微，数形结合是数学中常用的思想方法，它是通过数、形间的对应和互助来研究问题并解决问题的方法。中的一些量（如距离、角度、面积、体积等）在一定单位制中可分别对应一些确定的，也可...

数学方法 | 几何变换法（“数学思想方法导引”第29讲/共36讲）

指的是将几何图形按某种法则或规律变成另一个几何图形的过程。所以几何变换就是两个图形点之间的一一对应，初等几何变换在平面上主要有全等变换、相似变换。两点间的距离是全等变换的基本不变量。图形经全等变换后与...

数学方法 | 反例（“数学思想方法导引”第34讲/共36讲）

一般是指建立在数学证实的理论与逻辑推理基础上并具有一定否定作用的例子。实际应用中只构造出一个反例即可。而数学发现也是朝着两个主要目标——提出证明和构造反例，反例有助于发现原有某些数学理论的局限性”反例...

初中数学:145条几何题公式定理汇总,转给孩子,初中几何再也不愁了

数学作为我们学习过程中的一个重点科目，在学习的时候就一定要将我们的基础知识内容以及重点考点这些掌握到位，初中数学主要就是衔接我们的小学数学和初中数学的，初中数学不仅是将小学基础知识内容进行反馈，也是为...

所有初中数学学霸都要学会的最新几何全等辅助线添加技巧核心精髓

学生刚刚接触几何模型时，一部分学生还比较感兴趣，但是大部分学生对于几何模型比较头疼，几何模型并不是要求学生对于知识点以及概念掌握就行，还需要深入的刨析和研究才能更好的掌握。没有一个学生能够忽略几何模型...

初中数学-培优：因式分解十二大技巧(4~6)

因式分解十二大技巧(4~6)，在分组分解时，常常将项数平均分配.但是，方法是先将一项拆为两项.如果这个整式是按某一字母的升幂或降幂排列的:使得分成的每一组都有公因式可提或者可以应用公式.对于按某一字母...

浓缩105个初中数学常考几何模型辅助线添加技巧精髓以及解题思想

每年的中考数学题型都在千变万化，这样很难应对题型的变化。我们中考数学题库成千上万，真正到了中考到来，进入考场面对如此新题型只会无动于衷，必然很难突破高分。无论是中考还是高考，要想在中考数学这个科目“我...

初中数学：因式分解解题技巧（第1讲）-版本2

因式分解解题技巧（第1讲），1.多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活，不仅是掌握因式分解内容所必需的，2.初中数学教材中主要介绍了提取公因...

小学一年级语文拼音学习方法技巧大全

二、声母【21个辅音+零声母y、w】，舌面前不送气清塞擦音。舌尖前不送气清塞擦音，舌尖前送气清塞擦音。zhi舌尖后不送气清塞擦音。chi舌尖后送气清塞擦音。shi舌尖后清擦音，ei、ei、ei、e+i...

(原创)红球选号9.11进制及合数运用理论 - 双色球方法技巧 - 乐彩论坛 |乐彩论坛|...

创)红球选号9.11进制及合数运用理论，本人研究双球的时间并不算很长，所以综合起来的话您的词语已经被中彩论坛过滤，本人觉得最具参考价值的还是9进制11进制及其合数运用理论了，但是合数运用理论实在是难懂...

初中数学辅助线.专题学习，很多学生在数学...

初中数学辅助线.专题学习，很多学生在数学几何知识点上，来看看这6张图，肯定会让你豁然开朗起来！原来数学也挺简单的！三角形4个辅助线定理非常基础，一定要牢记在心！考试的时候经常出现，平行四边形的5个辅助...

人教版九年级英语知识点归纳，短语总结，语法归纳！

人教版九年级英语知识点归纳?短语总结，1. good learners 优秀的学习者 2. work with friends 和朋友一起学习；25.make word cards 制作单词卡片 26...

【解题研究】中考数学几何必会模型：三垂直全等模型

许兴华数学：1458篇原创内容，公众号：今天老师给大家整理了中考数学需要掌握的几何模型：助力中考；三垂直全等模型“中考数学几何必会模型”三垂直全等模型，（4）投稿邮箱，或加主编微信xuxinghua1...

初中数学72个解题思维与方法——巧思妙解篇

用常规方法解决不易奏效时，某些求代数式的值的题目。不易直接代入求解，需认真分析题目的特点，使问题巧妙获解“数学问题中，如果已知关系式存在几个变量，四、变换主元巧解题”变换问题中的主元。五、利用非负数的...

初中数学几何归类研讨——最值问题的5大方法总结

最值问题，只要会分析题目所属于的类型。及时进行对应的方法解决即可，几何图形中的某几个量(如线段、角、面积等)在大小的变化过程中，能够取得最大值或最小值。统称为几何最值问题，实际上解决几何最值问题，只涉...

初中数学：代数式求值19大方法全梳理

代数式求值19大方法全梳理，代数式求值问题是历年中考试题中一种极为常见的题型，它除了按常规代入求值外，灵活运用恰当的方法和技巧，下面介绍几种常用的求值方法，本题也可利用等比性质来解，求解等比条件求值问...

初中数学常用几何模型及构造方法大全，掌握它轻松搞定压轴题！

相邻等线段绕公共顶点旋转，翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题，旋转半角模型。旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角”模型变形主要是两个正...

初中数学：求圆中阴影部分面积的十大实用方法

且有较高的综合性．由于所求的圆中阴影部分面积一般都是不规则图形，需对问题的条件、结论和图形进行变形、转换，把不规则图形的面积转化为规则图形的面积来解决．本文结合具体实例，对于不规则图形实施分割、叠合后...

ABCD三角形ADCM

上一篇
开胃解腻红枣玉米小窝头，一盘可不够

下一篇
青青草色　　文/天涯书境

有话要说...

最新文章

取消
扫码支持 支付码