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初中数学|经典几何问题：相似模型（下）

初中数学往期模型


相似模型

模型5.圆相关的简单相似

结论：

图①中，由同弧所对的圆周角相等，可得△PAC∽△PDB；

图②中，由圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角，可得△PAC∽△PDB；

图③中，通过作辅助线构造，可得△PAC∽△PCB。

例子：如图，点P在⊙O外，PB交⊙O于A、B两点，PC交⊙O于 D、C两点。

求证：PA·PB=PD·PC。

证明：

联结AD、BC。

∴△PDA∽△PBC(利用模型)。

∴PD/PB=PA/PC,

∴PA·PB=PD·PC。

注：考试中遇到模型，需要自己证明后再使用。

思考：如图，P是⊙O内的一点，AB是过点P的一条弦，设圆的半径为r，OP=d。

求证：PA·PB=r2-d2。

证明：

作OP所在直径，交圆于E、F。

∴△APE∽△FPB(利用模型）。

∴PB/PE=PF/PA,

∴PA·PB=PE·PF，

∵ PE=r+d，PF=r-d，

∴PA·PB=r2-d2。

注：考试中遇到模型，需要自己证明后再使用。

思考：如图，已知AB是⊙O的直径，C、D是半圆的三等分点，延长AC、BD交于点E。

（1）求∠E的度数；

（2）点M是BE上一点，且满足，EM·EB=CE2,连接CM，

求证：CM是⊙O的切线。

求证：CM是⊙O的切线。

提示：

联结CO、DO、CB。

（1）证明△ACO,△BDO是等边三角形。

（2）△CEM∽△BEC(利用模型）

易证∠EMC=90°

OC∥BE(利用同位角相等)

∠OCM=90°。

注：考试中遇到模型，需要自己证明后再使用。


模型6.相似与旋转

如图，已知DE∥BC，将△ADE绕点A旋转一定的角度，连接BD、CE，


结论：△ABD∽△ACE。

分析：该模型难度较大，常出现在压轴题中，以直角三角形为背景出题，手拉手模型是此模型的特殊形态。

思考：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=60°，点P在△ABC内，且，PB=5，PC=2。

求：S△ABC？

提示：

作△ABQ, 使得∠QAB=∠PAC,

∠ABQ=∠ACP, 得到△ABQ∽△ACP相似比为2。

从而可得，△APQ, △BPQ是直角三角形。

思考：如图，△ABC和△CEF均为等腰三角形，E在△ABC内，

∠CAE+∠CBE=90°，连接BF。

（1）求证：△CAE∽△CBF；

（2）若BE=1，AE=2，求CE的长。

提示：

(1)同模型证法。

(2)利用模型，再根据

∠CAE+∠CBE=90°，

可证∠EBF=90°。

利用勾股定理求出EF，

再根据CE、EF、等腰直角三角形关系求出CE。

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注：若思考题有疑问可以私信小修要答案！

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