初中数学|经典几何问题：相似模型（下）
相似模型
模型5.圆相关的简单相似
结论：
图①中，由同弧所对的圆周角相等，可得△PAC∽△PDB；
图②中，由圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角，可得△PAC∽△PDB；
图③中，通过作辅助线构造，可得△PAC∽△PCB。
例子：如图，点P在⊙O外，PB交⊙O于A、B两点，PC交⊙O于 D、C两点。
求证：PA·PB=PD·PC。
证明：
联结AD、BC。
∴△PDA∽△PBC(利用模型)。
∴PD/PB=PA/PC,
∴PA·PB=PD·PC。
注：考试中遇到模型，需要自己证明后再使用。
思考：如图，P是⊙O内的一点，AB是过点P的一条弦，设圆的半径为r，OP=d。
求证：PA·PB=r2-d2。
证明：
作OP所在直径，交圆于E、F。
∴△APE∽△FPB(利用模型）。
∴PB/PE=PF/PA,
∴PA·PB=PE·PF，
∵ PE=r+d，PF=r-d，
∴PA·PB=r2-d2。
注：考试中遇到模型，需要自己证明后再使用。
思考：如图，已知AB是⊙O的直径，C、D是半圆的三等分点，延长AC、BD交于点E。
（1）求∠E的度数；
（2）点M是BE上一点，且满足，EM·EB=CE2,连接CM，
求证：CM是⊙O的切线。
求证：CM是⊙O的切线。
提示：
联结CO、DO、CB。
（1）证明△ACO,△BDO是等边三角形。
（2）△CEM∽△BEC(利用模型）
易证∠EMC=90°
OC∥BE(利用同位角相等)
∠OCM=90°。
注：考试中遇到模型，需要自己证明后再使用。
模型6.相似与旋转
如图，已知DE∥BC，将△ADE绕点A旋转一定的角度，连接BD、CE，
结论：△ABD∽△ACE。
分析：该模型难度较大，常出现在压轴题中，以直角三角形为背景出题，手拉手模型是此模型的特殊形态。
思考：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=60°，点P在△ABC内，且，PB=5，PC=2。
求：S△ABC？
提示：
作△ABQ, 使得∠QAB=∠PAC,
∠ABQ=∠ACP, 得到△ABQ∽△ACP相似比为2。
从而可得，△APQ, △BPQ是直角三角形。
思考：如图，△ABC和△CEF均为等腰三角形，E在△ABC内，
∠CAE+∠CBE=90°，连接BF。
（1）求证：△CAE∽△CBF；
（2）若BE=1，AE=2，求CE的长。
提示：
(1)同模型证法。
(2)利用模型，再根据
∠CAE+∠CBE=90°，
可证∠EBF=90°。
利用勾股定理求出EF，
再根据CE、EF、等腰直角三角形关系求出CE。
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注：若思考题有疑问可以私信小修要答案！
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