【立体几何】平行证明的四大必杀技!

类型一

根据已有平行关系证平行

例题1：已知四棱锥P-ABCD，且G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，且有BC∥平面GEFH，证明GH∥EF。

证明： ∵BC∥平面GEFH，平面GEFH∩平面ABCD=EF 且BC⊂平面ABCD ∴BC∥EF ∵EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC ∴平面EF∥平面PBC ∵平面EFGH∩平面PBC=GH ∴EF∥GH 例题2：如图，三棱台DEF-ABC，AB=2DE，且G，H分别为AC，BC的中点，求证：BD∥平面FGH。

证明：
在三棱台DEF-ABC中，AB=2DE 且H为BC的中点， ∴BH∥EF，且BH＝EF ∴四边形BHEF是平行四边形 又G是AC中点，H为BC的中点， 根据三角形中位线可得： GH∥AB，又GH∩HF=H ∴平面FGH∥平面ABED ∵BD⊂平面ABED ∴BD∥平面FGH 变式：如图所示，在三棱锥P-ABQ中， D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点， PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH，求证AB∥GH。

类型二
利用三角形的中位线证平行 例题：如图，四棱锥P-ABCD，AD∥BC，且AD=2BC，且E，F分别为线段AD，PC的中点，求证：AP∥平面BEF。

证明： 连接AC，CE，且AC与BE相交于点O，连接OF，如下图：

∵AD∥BC，且AD=2BC， 且E是AD的中点，可得： 四边形ABCE是平行四边形 ∴O是AC的中点，又F是PC的中点 ∴OF是△ACP的中位线 ∴OF∥PA ∵PA⊄平面BEF，OF⊂平面BEF ∴AP∥平面BEF 变式：如图，直三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 ，点M，N分别为A 1 B和B 1 C 1 的中点，求证：MN∥A 1 ACC 1

类型三

利用平行四边形的性质证平行

例题1：在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，CD=2AB，E为PD的中点，求证：AE∥平面PBC。

证明： 取PC的中点F，连接EF，BF，如下图：
∵E，F分别是PD，PC的中点 ∴EF∥CD，且CD=2EF 又AB∥CD，且CD=2AB ∴AB∥EF，且AB=EF 即四边形ABFE是平行四边形 ∴AE∥BF 又AE⊄平面PBC，BF⊂平面PBC ∴AE∥平面PBC 例题2：如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等边三角形，侧面BCC1B是矩形，AB=A1B，N是B 1 C的中点，M是棱AA1上的一点，且AA1⊥CM，证明：MN∥ABC 证明： 连接BM，取BC得中点P，连接AP，NP，如下图：

∵BCC1B1是矩形，∴BC⊥BB1， ∵AA1∥BB1∴AA 1 ⊥BC ∵AA1⊥MC，BC∩MC=C， ∴AA 1 ⊥平面BCM ∴AA1⊥MB ∵AB=A1B ∴M是AA1的中点， 又P，N分别是CB，CB 1 的中点， 由三角形的中位线可得： NP∥BB 1 ，且BB 1 =2NP ∴NP∥MA，且NP=MA ∴四边形AMNP是平行四边形 ∴MN∥AP ∵MN⊄平面ABC，AP⊂平面ABC ∴MN∥平面ABC 变式：如图，四棱锥P-ABCD，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AD=3，BC=4，且M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点，证明：MN∥平面PAB。

类型四

利用向量法证垂直

1 利用平面法向量 利用法向量证明直线与平面平行的基本原理为： 若平面外一条直线的方向向量垂直于此平面的法向量，则该向量与此平面平行。 即若法向量n⊥平面ɑ，且法向量n ⊥向量 a ，则向量a∥平面ɑ 例题：如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是正方形，AA1=4，AB=2，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点，证明：MN∥C1DE

证明： 以D为原点，以DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系如下：

根据AA1=4，AB=2，可得点的坐标如下： D(0，0，0)，E(1，2，0)，C1(0，2，4) M(2，2，2)，N(1，0，2) 则有：

2利用向量共面定理

向量共面定理： 已知向量a，向量b，向量c两两不共线，若存在实数x，y，使得向量c=xa+yb，则向量a，向量b，向量c共面。具体如下动图所示： 备注： 因为向量是可以移动的，所以几个向量共面不代表向量所对应的直线是相互共面的。
例题：如图所示四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，AB=4,PA=2，E为PD的中点，证明：PB∥平面AEC

证明： 以A为原点，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系如下：

根据AB=4， PA=2，可得点的坐标如下： A(0，0，0)，P(0，0，2) ，B(4，0，0) D(0，4，0) ，C(4，4，0) ∵E为PD的中点， ∴E(0，2，1)

3利用平面向量共线定理

平面向量共线定理：
不共线的两条直线所对应的向量分别为向量a，向量b，若向量a=λb，则向量a∥向量b 接下来用平面向量共线定理再解上面用法向量求解的例题 例题：如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是正方形，AA1=4，AB=2，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点，证明：MN∥C1DE

证明： 以D为原点，以DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系如下：

根据AA1=4，AB=2，可得点的坐标如下： D(0，0，0)，E(1，2，0) M(2，2，2)，N(1，0，2) 则有：

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