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一道看起来有难度的经典几何难题,实际上却是小菜一碟

这是一道经典的几何题。如图,直角三角形ABC中,∠C是直角,BC=2AC,AD是∠BAC的平分线。求证:AB+2BD=5AC

分析:如果用一般的“截长补短”的方法做辅助线,还是要费一点功夫的。但利用角平分线定理和勾股定理,解决这个问题则几乎不费吹灰之力。

根据题意,BC=2AC,不妨设AC=1,则BC=2,AB=√5;

再设BD=x,则CD=2-x,

由角平分线定理:CD/BD=AC/AB,带入数值,

(2-x)/x=1/√5,

解得x=(5-√5)/2

所以AB+2BD=√5+2×(5-√5)/2=5=5AC。

是不是简单到爆?

关键就是利用角平分线定理,把几何问题化为代数问题。

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