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你见过圆内接正多边形的中考压轴题吗？上海中考数学压轴题

这是上海中考数学的一道压轴题。与圆内接正多边形有关，题型还是比较少见的。题目是这样的：

已知⊙O的直径AB=2，弦AC与弦BD交于点E，且OD⊥AC，垂足为点F.

(1)如图1, 如果AC=BD，求弦AC的长；

(2)如图2，如果E为弦BD的中点，求∠ABD的余切值；

(3)联结BC, CD, DA，如果BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正(n+4)边形的一边，求△ACD的面积.

很多时候，就算是中考的压轴题第一小题也是送分题，但这道题从第一小题开始，就没有那么容易，至少不算是送分题吧。【】内为注释：

解：(1)连接BC，CD，则BC⊥AC，【因为角ACB是直径AB所对的圆周角，所以是直角】

又OD⊥AC，∴BC//OD.【平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行】

∵AC=BD，∴弧AC=弧BD，【等弦对等劣弧】

∴弧AD=弧BC，【上面两弧同时减去弧CD得到的】

∴∠ABD=∠BAC=∠BDC，【前面是等弧对等角，后面是同弧BC对等角】

∴CD//AB，【内错角相等，两直线平行】

∴BC=OD=AB/2=1，【BC=OD，是因为平行线间的平行线段相等】

在Rt△ABC中，AC=根号(AB^2-BC^2)=根号3.

(2)连接AD，OE，则

这次我们需要连接AD和OE，那么AD//OE, 且AD=2OE，【三角形中位线定理】

三角形AFD相似于三角形EFO，∴OF/DF=OE/AD=1/2，∴DF=2OF，

又OF+DF=OD=AB/2=1, ∴DF=2/3，OF=1/3,

在Rt△AOF中，AF^2=OA^2-OF^2=8/9,

在Rt△ADF中，AD=根号(AF^2+DF^2) =2倍根号3/3,

在Rt△ABD中，BD=根号(AB^2-AD^2)=2倍根号6/3.

【连用三次勾股定理，见证了勾股定理的强大了吗？】

∴cot∠ABD=BD/AD=根号2.

(3)如图：∵OD⊥AC，∴CD=AD,【垂径定理】

∴∠ADO=∠DAO=90度-180度/(n+4), 【利用正n+4边形的内角公式，以及“中心与顶点的连线平分顶角”的定理】

在Rt△ADF中，∠DAF=90度-∠ADO=180度/(n+4),【直角三角形两个锐角互余的定理】

∵∠ACB=90度, ∴BC//OD,

∴∠AOD=∠ABC=90度-180度/n. 【两直线平行，同位角相等】

在Rt△AOF中，∠OAF=90度-∠AOD=180度/n,

由∠OAF+∠DAF=∠DAO, 有

180度/n+180度/(n+4)=90度-180度/(n+4),

解得：n=4.【舍去不合理的解n=-2】

AC=BC=AB/根号2=根号2,

OF=BC/2=根号2/2,

DF=OD-OF=1-根号2/2,

S△ACD=DF·AC/2=(根号2-1)/2.

怎么样？你自己做出来了吗？

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