模型系列：角含半角模型

半角模型

已知如图：①2∠2=∠AOB；②OA=OB.

连接FB，将△FOB绕点O旋转至△FOA的位置，连接F′E，FE，

可得△OEF≌△OEF′

模型分析

∵△OBF≌△OAF′，

∴∠3=∠4，OF=OF′.

∴∠2=∠AOB，

∴∠1+∠3=∠2

∴∠1+∠4=∠2

又∵OE是公共边，

∴△OEF≌△OEF′.

（1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点；

（2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系；

（3）常见的半角模型是90°含45°，120°含60°.

模型实例

例1已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，它的两边分别交线段CB、DC于点M、N．

（1）求证：BM+DN=MN．

（2）作AH⊥MN于点H，求证：AH=AB．

证明：（1）延长ND到E，使DE=BM，

∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB．

在△ADE和△ABM中，

∴△ADE≌△ABM．

∴AE=AM，∠DAE=∠BAM

∵∠MAN=45°，∴∠BAM+∠NAD=45°．

∴∠MAN=∠EAN=45°．

在△AMN和△AEN中，

∴△AMN≌△AEN．

∴MN=EN．

∴BM+DN=DE+DN=EN=MN．

（2）由（1）知，△AMN≌△AEN．

∴S△AMN=S△AEN．

即．

又∵MN=EN，

∴AH=AD．

即AH=AB．

例2 在等边△ABC的两边AB、AC上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：当M、N分别在线段AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系．

（1）如图①，当DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是_______________；

（2）如图②，当DM≠DN时，猜想（1）问的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明．

图①图②

解答

（1）BM、NC、MN之间的数量关系是BM+NC=MN．

（2）猜想：BM+NC=MN．

证明：如图③，延长AC至E，使CE=BM，连接DE．

∵BD=CD，且∠BDC=120°，

∴∠DBC=∠DCB=30°．

又∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°．

∴∠MBD=∠NCD=90°．

在△MBD与△ECD中，

∵DB=DC，∠DBM=∠DCE=90°，BM=CE，

∴△MBD≌△ECD（SAS）．

∴DM=DE，∠BDM=∠CDE．

∴∠EDN=∠BDC-∠MDN=60°．

在△MDN和△EDN中，

∵MD=ED，∠MDN=∠EDN=60°，DN=DN，

∴△MDN≌△EDN（SAS）．

∴MN=NE=NC+CE=NC+BM．

图③

例3 如图，在四边形ABCD中，∠B+∠ADC=180°，AB=AD，E、F分别是BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE-FD．

证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．

∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，

∴∠B=∠ADF．

在△ABG和△ADF中，

∴△ABG ≌△ADF（SAS）．

∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．

∴∠GAF=∠BAD．

∴∠EAF=∠BAD=∠GAF．

∴∠GAE=∠EAF．

在△AEG和△AEF中，

∴△AEG ≌△AEF（SAS）．

∴EG=EF．

∵EG=BE-BG，

∴EF=BE-FD．

跟踪练习：

1．已知，正方形ABCD，M在CB延长线上，N在DC延长线上，∠MAN=45°．

求证：MN=DN-BM．

【答案】

证明：如图，在DN上截取DE=MB，连接AE，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠D=∠ABC=90°．

在△ABM和△ADE中，

∴△ABM≌△ADE．

∴AM=AE， ∠MAB=∠EAD ．

∵∠MAN=45°=∠MAB+∠BAN，

∴∠DAE+∠BAN=45°．

∴∠EAN=90°-45°=45°=∠MAN．

在△AMN和△AEN中，

∴△ABM≌△ADE．

∴MN=EN．

∵DN-DE=EN．

∴DN-BM=MN．

2．已知，如图①在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E分别为线段BC上两动

点，若∠DAE=45°，探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．

小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D使问题得到解

决．请你参考小明的思路探究并解决以下问题：

（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间的数量关系式，并对你的猜想给予证明；

（2）当动点E在线段BC上，动点D运动到线段CB延长线上时，如图②，其他条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．

【答案】

解答：（1）猜想：DE2=BD2+EC2．

证明：将△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，如图①

∴△ACE≌△ABE′．

∴BE′=EC，AE′=AE，∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB．

在Rt△ABC中，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=45°．

∴∠ABC+∠ABE′=90°，即∠E′BD=90°．

∴E′B2+BD2=E′D2．

又∵∠DAE=45°，

∴∠BAD+∠EAC=45°．

∴∠E′AB+∠BAD=45°，即∠E′AD=45°．

∴△AE′D≌△AED．

∴DE=DE′．

∴DE2=BD2+EC2．

（2）结论：关系式DE2=BD2+EC2仍然成立．

证明：作∠FAD=∠BAD，且截取AF=AB，连接DF，连接FE，如图②

∴△AFD≌△ABD．

∴FD=DB，∠AFD=∠ABD．

又∵AB=AC，

∴AF=AC．

∵∠FAE=∠FAD+∠DAE=∠FAD+45°，

∠EAC=∠BAC-∠BAE=90°-（∠DAE-∠DAB ）=90°-（45°-∠DAB）=45°+∠DAB，

∴∠FAE=∠CAE．

又∵AE=AE，

∴△AFE≌△ACE．

∴FE=EC，∠AFE=∠ACE=45°．

∠AFD=∠ABD=180°-∠ABC=135°．

∴∠DFE=∠AFD-∠AFE=135°-45°=90°．

在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2．

即DE2=BD2+EC2．

3．已知，在等边△ABC中，点O是边AC、BC的垂直平分线的交点，M、N分别在直线

AC、BC上，且∠MON=60°．

（1）如图①，当CM=CN时，M、N分别在边AC、BC上时，请写出AM、CN、MN三

者之间的数量关系；

（2）如图②，当CM≠CN时，M、N分别在边AC、BC上时，（1）中的结论是否仍然

成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；

（3）如图③，当点M在边AC上，点N在BC的延长线上时，请直接写出线段AM、CN、

MN三者之间的数量关系．

【答案】

结论：（1）AM=CN+MN；如图①

图①

（2）成立；

证明：如图②，在AC上截取AE=CN，连接OE、OA、OC．

∵O是边AC、BC垂直平分线的交点，且△ABC为等边三角形，

∴OA=OC，∠OAE=∠OCN=30°，∠AOC=120°．

又∵AE=CN，

∴△OAE≌△OCN．

∴OE=ON，∠AOE=∠CON．

∴∠EON=∠AOC=120°．

∵∠MON=60°，

∴∠MOE=∠MON=60°．

∴△MOE≌△MON．

∴ME=MN．

∴AM=AE+ME=CN+MN．

图②

（3）如图③，AM=MN-CN．

图③

4．如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，AB=AD，E、F分别是线段BC、CD上的

点，且BE+FD=EF．求证：∠EAF=∠BAD．

【答案】

证明：如图，把△ADF绕点A顺时针旋转∠DAB的度数得到△ABG，AD旋转到AB，AF旋转到AG，

∴AG=AF，BG=DF，∠ABG=∠D，∠BAG=∠DAF．

∵∠ABC+∠D=180°，

∴∠ABC+∠ABG=180°．

∴点G、B、C共线．

∵BE+FD=EF，

∴BE+BG=GE=EF．

在△AEG和△AEF中，

∴△AEG≌△AEF．

∴∠EAG=∠EAF．

∴∠EAB+∠BAG=∠EAF．

又∵∠BAG=∠DAF，

∴∠EAB+∠DAF=∠EAF．

∴∠EAF=∠BAD．

5．如图①，已知四边形ABCD，∠EAF的两边分别与DC的延长线交于点F，与CB的延长线交于点E，连接EF．

（1）若四边形ABCD为正方形，当∠EAF＝45°时，EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？（只需直接写出结论）

（2）如图②，如果四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC与∠ADC互补，当∠EAF＝∠BAD时，EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？请写出结论并证明．

（3）在（2）中，若BC＝4，DC＝7，CF＝2，求△CEF的周长（直接写出结论）

解答：

（1）EF=DF-BE

（2）EF=DF-BE

证明：如图，在DF上截取DM=BE，连接AM，

∵∠D+∠ABC=∠ABE+∠ABC=180°

∵D=ABE

∵AD=AB

在△ADM和△ABE中，

∴△ADM≌△ABE

∴AM=AE，∠DAM=∠BAE

∵∠EAF=∠BAE+∠BAF=∠BAD，

∴∠DAM+∠BAF=∠BAD

∴∠MAF=∠BAD

∴∠EAF=∠MAF

在△EAF和△MAF中

∴△EAF≌△MAF

∴EF=MF

∵MF=DF-DM=DF-BE，

∴EF=DF-BE

（3）∵EF=DF-BE

∴△CEF的周长=CE+EF+FC=BC+BE+DC+CF-BE+CF

=BC+CD+2CF=15