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1/3等于0.333(除不尽),那么1米长的绳子能否分成三等份?

这种问题经常在网络上出现,很容易让人陷入某种误区,甚至让人患上“强迫症”,看到无理数就会产生某种说不清道不明的“歧视”心理,就好像无理数真的“无理”一样,“无理数”这三个字确实蒙蔽了很多人的双眼!

事实上无理数一点也不“无理”,无理数和有理数完全是平等的,都是一个再普通不过的数,而且是真实存在的数,一个非常确定的数。

无理数与有理数的区别只有一点:无限不循环,仅此而已。

但你不能因为无限不循环就对无理数“另眼看待”,甚至会下意识地认为“无限不循环就不是确定的数”!

不少人总是下意识习惯性地强迫无理数必须用小数完全写出来,写不出来心里就憋得慌。但一个非常现实的问题是:为何一定要用小数写出来呢?用其他形式写出来不行吗?

这就是不少人认识山的误区!

比如说圆周率π就是π,就好比“1就是1”一样,都是一个确定的数。我可以很轻松地把π写出来,它就是:π。

明白了这点,再回到问题中。

1/3等于0.333......,永远写不完,但写不完不代表1/3就不存在,事实上你可以非常轻松地在数周上画出1/3长度,不但如此,你可以在数周上画出任何一个数(包括无理数)的长度,比如说π,√2等。

下图一眼就能看出如何在数轴上画出√2:画一个直角边为1的等腰直角三角形,然后以斜边为半径画一个圆形,与数轴的交点就是√2。

确实,在人类数学史上,尤其是在微积分思想产生之前,无理数的概念困惑了很多人。就好题目中的问题一样,0.333永远写不完,怎么可能分成三等份呢?

首先1/3是一个确定的数,非常确定,是一个实数。只要是实数,都会对应数轴上的一个点。我们经常用到的圆周率π是无理数,它也对应数轴上一个点,π是一个确定的长度。

不少人认为无理数是不那么确定的数,其实只是一种错觉,一种心理暗示罢了,或者说是一种“强迫症”!

肯定有人会这样质问:1米长的绳子分成三等份,一份的长度就是0.333......,那么三份的长度应该是0.999......,也不等于1啊!

这就是误区所在,其中也牵扯到极限的思想。

最简单的解释就是:不要总是在0.333......(一直循环)上面较真,你直接认为1/3不就行了吗?1/3乘以3不正好等于1吗?为什么非要把任何数都要写成小数的形式才甘心呢?

但总会有人不甘心,一定要用小数写出来才罢休。所以问题的关键就在于:0.999......是否等于1?

0.999......等于1,0.999......等于1,0.999......等于1。

重要的事情说三遍!

可以用反证法来证明,首先假设0.999......不等于1,由于两个不相等的数之间肯定会存在无数多个数,这意味着0.999......和1之间存在无数多个数,但事实上不要说找到无数多个数了,你能找到哪怕一个数吗?

如果能找到,0.999......当然不等于1,如果找不到,0.999......必然等于1。最后的结果是:你不得不承认0.999......等于1。虽然你可能还是那么不甘心!

还有人经常会这样问:0.999......不是比1要小0.00000......1吗?极限属于一种抽象概念,非具体的,所以我们不能用具体数值的加减来理解。

再举个通俗的例子。

自然数与偶数哪个更多?

如果没有极限的思想概念,很容易得出“自然数比偶数多”的结论,毕竟自然数包括偶数和奇数。但事实上自然数与偶数一样多。自然数与偶数都是无穷多个,无穷也是有大小的。最简单的比较无穷大小的方式就是两个无穷的合集是否能一一对应。

自然数虽然看起来比偶数多(好像多出来的都是奇数),但每一个自然数都有偶数与之对应:自然数乘以2不就是偶数吗?

所以自然数与偶数一样多!

如果你按照刚才的思想来较真:自然数-偶数=奇数,那就完全脱离了极限的思想。

最后还要强调一点,从理论上分析,一根一米长的绳子可以分成三等份,但现实中你永远做不到。这与科技发达与否没有关系,科技再发达也不可能做到,误差是永远存在的。

而且“一根一米长的绳子分成三等份”仅仅是从数学概念来分析的,也就是说数轴上长度为1的线段可以分成三等份。但数学并不等同于现实,数学可以说是抽象的概念,带有绝对性。而测量属于具体的,具有相对性。

同时,数学上不存在最小的数,你永远找不到大于0的最小的数,但现实中存在最小的长度单位,它就是普朗克长度,任何小于普朗克长度的单位都没有意义!

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