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高中数学:三次函数极值点的判断

三次函数的一般形式:f(x)=ax3+bx2+cx+d (a≠0,x∈R)

求复杂函数极值点最常用的方法是对函数求导,所以我们有:

f’(x)=3ax2+2bx+c (a≠0,x∈R)

判断是否存在极值:

(1)判别式△=b2-3ac≤0 , f’(x)≥0恒成立,f(x)不存在极值点

(2)判别式△=b2-3ac>0 , f’(x)存在两个零点,f(x)存在极大值和极小值

我们也可以这样表述:

(3)f(x)有极值的充要条件:f’(x)有两个不同的零点;

(4)f(x)在区间(m,n)有一个极值的充要条件:f’(x)在区间(m,n)有一个零点(非重根);

(5)f(x)在区间(m,n)有两个极值的充要条件:f’(x)在区间(m,n)有两个不同零点;

例1、已知三次函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-1和x=1处取得极值, 且f(-2)=-4

(1)求a与b的值;

(2)求函数y=f(x)的单调区间.

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