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小学奥数每日一题013 - 卡拉数学

题目:2019年即将过去,小明有点不舍得。他想找到两个自然数m,n,使这两个数的立方和等于20192019......2019(共8个2019)。请问小明的想法能实现吗?

这道题属于数论问题,如果你想思考一下,可以暂停滚屏,思考1分钟后,再继续。


思路分析:

先介绍几个基础知识点,

知识点一:完全平方数除以3后,余数只可能是0或者1;

知识点二:完全平方数除以4后,余数只可能是0或者1;

知识点三:完全立方数除以7后,余数只可能是0、1或者6。

这几个知识点都很容易证明,但在处理具体问题时非常实用。

由于今天的题目是完全立方数,我们将应用第三个知识点解题,作为示例将证明这个知识点,其余两个知识点您可以类似证明。

因此,我们先思考完全立方数除以7余数是多少,再计算2019......2019除以7的余数,判断两个立方数的和是否可能是2019......2019。


步骤1:

先思考第一个问题,完全立方数的除以7余数可能是多少?

任何一个数n除以7余数只有7种,即0到6的所有自然数,对这7种余数分别计算:

第一种,当余数是0时,自然数n可写为7k的形式,显然(7k)^3除以7的余数是0;

第二种,当余数是1时,自然数n可写为7k+1的形式,(7k+1)^3除以7的余数是1;

第三种,当余数是3时,自然数n可写为7k+3的形式,(7k+3)^3除以7的余数是6;

……

类似的计算可以得到,n^3除以7的余数只能是0,1或6。

注:对上面的另外两个知识点,您也可以类似的证明。


步骤2:

再思考第二个问题,考虑原题目的答案。

根据步骤1的结论,对任意两个自然数m和n,m^3+n^3除以7的余数只有5种,即0,1,2,5,6。

但2019=288*7+3,即2019除以7的余数是3。由于2019重复了8遍,故2019......2019除以7的余数也是3。由于3不在上述5种余数中,因此满足条件的m和n不存在,

所以小明的想法不能实现。


你学会了吗?

有兴趣的读者可以考虑自行练习下面的扩展题

思考题:原题目改个条件。

2019年即将过去,小明有点不舍得。小明想找到两个自然数m,n,使这两个数的平方和等于2019。请问小明的想法能实现吗?


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