数学家发现了用于理解混沌系统的工具，对科学具有深远的影响
1885年，瑞典国王奥斯卡二世宣布了一项由四个数学问题组成的公开挑战。法国博学多才的亨利庞加莱关注的是一个与天体运动有关的问题，即所谓的n体问题。太阳系会永远保持它的顺时针运动吗？这些行星是会飞向虚空，还是会坍塌成一个炽热的太阳？
庞加莱研究表明至少有一些系统，比如太阳、地球和月球，是稳定的，他赢得了这个著名的奖项，并在1889年出版了一篇相关文章。不幸的是，他的解决方法是错误的。
庞加莱承认了他的错误，并花钱销毁了他的解决方案的副本（花费超过了奖金）。一个月后，他提交了修改后的版本。他现在看到，即使是一个只有三个物体的系统，其行为也可能不可预测，太混乱而无法建模。于是动力系统领域出现
了
。
就我们的目的而言，动力系统只是一个函数，其可能的输出也可以是输入。这允许我们重复插入函数的输出，允许行为的进化。正如庞加莱的研究所显示的，这个简单的前提可以产生如此复杂和随机的例子，它被称为混沌。
在大约70年后，有一种优雅的方式可以理解庞加莱的结论，并为混沌带来一些秩序。在才华横溢的年轻拓扑学家（菲尔兹奖得主）斯蒂芬·斯梅尔写完他的第一篇关于动力系统的文章后不久，他收到了一封信，信中他发现了一个相对简单且普遍存在的函数，可以解释庞加莱在三体问题中观察到的混沌现象。斯梅尔称之为马蹄铁。
为了理解它，让我们从一个简单的动力系统的例子开始，它不是混沌的。假设你想用一个简单的计算器计算根号2。有一种叫作牛顿法的方法，你应该从任意一个猜想开始，比如说3，然后把它代入函数
输出f(3) = 1.8333333，比输入更接近真实值。为了更接近函数，将输出插入到函数中：f(1.8333333) = 1.4621212。再这样做三次，得到1.4142136，这可能是计算器准确度的极限。
把第六次近似写成
记作
我们称无限的输出序列为x的“轨道”。把每次迭代看作是时钟的滴答，把轨道看作沿着数轴跳动，接近根号2。
在这个例子中，我们称根号2为一个吸引不动点：一个不动点是因为它产生了固定的轨道
而
吸引
是因为，像黑洞一样，它会吸进附近点的轨道。但是，并不是所有的动力系统都
表现
出如此简单和可预测的行为。一个动力系统的轨道可以周期性地通过有限的一组点，或者向无限延伸，或者没有明显的顺序。
为了理解这些概念（它们是混沌系统的核心），考虑一个特别具有启发性的例子，称为帐篷映射，T，定义为x在0到1之间的值。就像糖果制作者拉太妃糖一样，它把这个间隔拉长到原来长度的两倍，对折，然后回到原来的间隔。这意味着0和1都映射到0，1/2映射到1。因为帐篷映射产生的值也在0到1之间，所以它
可以
是一个动态系统。迭代函数，就像牛顿法，意味着重复这个拉伸和折叠的过程。
现在如果我们在H中取任意一点，我们就可以计算出它正向轨道的行程。因为马蹄铁是可逆的，我们也可以确定逆向轨道的行程。 例如，我们从L区域的一个点开始，当我们运行正向轨道时，我们得到LRRLRR…，向无限远处移动。当我们运行反向轨道时，我们得到LRRLRR....所以我们可以把它的行程写成…LRRLRRLRRLRR…，下划线表示起点。这是一个周期为3 的 轨道。 现在对H中的每一点都这样做。 有了这些行程，我们就有了对马蹄形地图的完整描述——我们完全理解它——尽管它具有混沌的动力学：每个时期的点，对初始条件的敏感依赖等等。 现在我们可以看到斯梅尔的马蹄铁如何更清楚地描述庞加莱的三体问题中的混沌。在他混乱的马蹄铁中，必定有一个固定的点（称之为p），因为每个可能的路线都存在点。这意味着一定还有一个点——我们把这个点叫作q——这个点的行程是……LLLRLLL....这个点的向前轨道接近p（我们称之为“进入未来”），它的向后轨道也接近p（进入过去）。 同时，庞加莱观测到某些函数的 不动 点具有吸引和排斥方向。这意味着有一个向固定点移动的曲线，就像静脉将血液送回心脏，也有一个向外移动的曲线，就像动脉将血液送进身体。如果这些曲线相交，相交点，称为同宿点，具有一种奇特的性质，即它们在未来和过去都接近不动点。
- 由方程T(x)=−2∣x−1/2∣+ 1所描述的帐篷映射，拉伸并折叠了区间[0,1]。迭代函数对应于重复的拉伸和折叠。
现在如果我们在H中取任意一点，我们就可以计算出它正向轨道的行程。因为马蹄铁是可逆的，我们也可以确定逆向轨道的行程。 例如，我们从L区域的一个点开始，当我们运行正向轨道时，我们得到LRRLRR…，向无限远处移动。当我们运行反向轨道时，我们得到LRRLRR....所以我们可以把它的行程写成…LRRLRRLRRLRR…，下划线表示起点。这是一个周期为3 的 轨道。 现在对H中的每一点都这样做。 有了这些行程，我们就有了对马蹄形地图的完整描述——我们完全理解它——尽管它具有混沌的动力学：每个时期的点，对初始条件的敏感依赖等等。 现在我们可以看到斯梅尔的马蹄铁如何更清楚地描述庞加莱的三体问题中的混沌。在他混乱的马蹄铁中，必定有一个固定的点（称之为p），因为每个可能的路线都存在点。这意味着一定还有一个点——我们把这个点叫作q——这个点的行程是……LLLRLLL....这个点的向前轨道接近p（我们称之为“进入未来”），它的向后轨道也接近p（进入过去）。 同时，庞加莱观测到某些函数的 不动 点具有吸引和排斥方向。这意味着有一个向固定点移动的曲线，就像静脉将血液送回心脏，也有一个向外移动的曲线，就像动脉将血液送进身体。如果这些曲线相交，相交点，称为同宿点，具有一种奇特的性质，即它们在未来和过去都接近不动点。
- 点q是一个同宿点，因为它在向前和向后的时间内都接近不动点p。当这种情况发生时，曲线产生同宿的纠缠并显示出混乱的行为——就像马蹄铁一样。
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