这是高考数学一道比较基础的立体几何真题,关于直线与平面垂直以及平面与平面垂直,和四棱锥的体积问题。立体几何题最重要的是把定理公式记牢,并能灵活运用。如果连最基本的定理公式都记不清楚,那就完蛋了。老黄已经快30年没有接触到这些定理了,但是仍可以在解题过程中把它们恢复出来。不过语言表达上,和课本里描述的可能大相径庭,内容保证是完全正确的。如果不是把定理公式内化为自己的语言,又怎么能一记就记30年,甚至是一辈子呢?我们先来看题吧。
如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,M为BC的中点,且PB⊥AM.
(1)证明:平面PAM⊥平面PBD;
(2)若PD=DC=1,求四棱锥P-ABCD的体积.
分析:(1)求证平面PAM垂直于平面PBD。我们只需要找到其中一个平面内的一条直线,垂直于另一个平面就可以了。注意观察。平面APM内的直线AM,极有可能满足这个条件。因为已知PB垂直于AM,又可证PD垂直于AM,从而一条直线垂直于平面内的两条相交线,直线就垂直于这个平面。这是一个逆向思维的过程,几何证明题,逆向思维能力是非常重要的。
(2)若四棱锥的高PD和底面矩形的一边DC都等于1,要求四棱锥的体积。显然,我们只要求得底面矩形的另一条边的长度就可以了。为此,我们可以构造一组相似三角形,利用相似三角形的边成比例的关系,来求矩形另一条边的长。
下面组织解题过程:
(1)证明:∵PD⊥底面ABCD,AM⊂平面ABCD,∴PD⊥AM,
【依据的定理是:垂直于平面的直线垂直于平面内的任何直线。】
又PB⊥AM,∴AM⊥平面PBD,
【依据的定理是:一条直线同时垂直于平面内的两条相交线,则这条直线垂直于这个平面。】
∵AM⊂平面PAM,∴平面PAM⊥平面PBD.
【依据的定理是:平面内一条直线垂直于另一个平面,则这两个平面互相垂直。这道题一共应用了立体几何关于直线与平面垂直,以及平面与平面垂直的三个重要定理】
(2)解:如图记AM交BD于Q,由1)可知∠AQB=90⁰,【依据与上面第一个定理相同】
∴在Rt△ABQ中,∴∠1+∠2=90⁰,
又在Rt△ABD中,∠3+∠2=90⁰,∴∠1=∠3,【同角等余】
∴Rt△AMB∽Rt△DBA,【有一组锐角相等的两个直角三角形相似】
设AD=BC=x,∵M为BC的中点,∴BM=x/2,
又BM/AB=AB/DA,即x/2=1/x, ∴x=根号2.【已经舍去了负根】
∴V四棱锥p-ABCD=AD·CD·PD/3=根号2 /3.【四棱锥的体积公式V=Sh/3】
可以看到,第二小题运用的全是初中的知识,而第一小题运用的定理都非常基础,所以这是一道相当基础的立体几何题,对你来说,应该只是小菜一碟吧。不论如何,仍有一些同学会觉得完成起来比较困难。老黄讲得这么哆嗦,这么详细,主要就是为这些有困难的同学服务的。
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