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中考数学压轴抛物线问题，不仅要能完成，而且要完成得简洁快捷

这是中考数学压轴题中比较常见的抛物线问题。完成不难，但要快速找到方法，快捷完成，解题的过程还要简洁，没有平时足够的训练和努力，一般人是做不到的。因此建议大家多练一练。题目是这样的：

抛物线y=x^2+bx-3(b为常数)经过A(-1,0).

(1)求该抛物线的解析式和顶点坐标；

(2)P(m,t)为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P’.

①当点P’落在该抛物线上时，求m的值；

②当点P’落第二象限内，P’A^2取得最小值时，求m的值.

解：(1)将A(-1,0)代入解析式，得：1-b-3=0, 解得b=-2,

∴该抛物线的解析式为：y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4, 顶点坐标为(1,-4).

【第(1)小题也可以运用顶点坐标公式来求，但不如直接化为顶点式快捷、简洁】

(2)①P’(-m,-t), 当m^2-2m-3=-((-m)^2-2(-m)-3)时，【即相反的自变量有相反的函数】

m^2-3=0, 解得：m=±根号3.

【第(2)小题，第①个问题，这样解决应该算是非常快捷简洁了吧！关键就是抓住关于原点对称的两点坐标的关系，以及这两点都在抛物线上的条件，列出关于m的方程】

②依题意：m>0, t<0,【即P点在第四象限，所以P'点在第二象限】

P’A^2=(-m+1)^2+(-t)^2=m^2-2m+1+t^2=t^2+(m^2-2m-3)+4=t^2+t+4=(t+1/2)^2+15/4,

【上面这一步是这道题最关键的地方，运用了构造代入法，是中考，甚至是高考中常用的方法之一，还是相当巧妙的，一定要学会运用哦】

所以当t=m^2-2m-3=-1/2，即2m^2-4m-5=0时，P'A^2=15/4最小。

解得m=(2+根号14)/2，或m=(2-根号14)/2（舍去）。

需要注意的是，最后这个问题不能运用均值不等式来求解。上图可以明显看出，当m-1=-t时，并不能取得P'A^2的最小值。主要是因为-t(m-1)并不是一个定值。

怎么样，这个解题过程足够简便了吧！

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