圆面积公式是什么？请写出答案和详细推导步骤

招聘面试的时候，遇到面试者说得最多的一句话就是：离开学校时间太久了，这些知识平常接触得少，都忘记了。

笔者认为有些知识点忘记了很正常，用到的时候再去查相关资料就行了。有些知识如果不是靠死记硬背，而是真正消化理解了，可能一辈子都不会忘，哪怕有些公式和结论忘记了，思考的逻辑和方法也不会忘，这些思考的逻辑和方法才是最重要的。

学校里学什么？从小学到大学，要上很多课读很多书，包括各种基础学科、理论知识和专业知识。离开学校参加工作后，在实际工作中有些知识会经常用到，大部分知识很少会用到，不常用的很多知识就会逐渐被遗忘。有人会问，花那么长时间，下那么大工夫学的一些知识都用不上，岂不是浪费？其实不然，学校里书本上学到的最重要的知识是思考问题的逻辑和方法。有些基础知识是认识世界解决问题的原始依据，比如一些公理和定义；有些知识是前人经过实践总结出来的经验，比如一些定律和公式，既是结论也是更高级知识的基础和依据。

苹果从树上掉落到地上是一种自然现象，没学过物理的人，只是觉得理所当然，不会去思考为什么，学过相关知识的人知道是地球引力的作用。如果要进一步研究苹果掉到地上，是苹果被砸烂还是把地上砸出多深的一个坑，还需要用到更多的力学知识，这个时候可能要去查一些资料和计算公式了。

高等数学里公认比较难学的微积分，如果理解了其基本的概念和用途，其推导的过程就不会忘记，一些具体的公式会忘记，可以分析推导出来，至少也知道去哪查找答案。

所以，读书有用，真正掌握了的知识不会忘，思考的逻辑和方法最重要。

好了，回到文章题目中提出的问题。

想必大部分人都能想起来，圆的面积公式： S =πr^2。

其中：S代表圆的面积，π是圆周率，r是圆的半径。

接下来如何推导这个公式呢？有兴趣者可以先自行推导之后再往下看或者边看边想，建议最好在看到最后答案之前先有自己的答案，可以比较对照。为了给大家有思考和解答的时间，我们先聊一下之前发生的一些事。

一天晚上，笔者把这个题目同时交给设计部门四位年轻工程师，反应各异。

A工程师说从来没有想过这个问题；B工程师说印象中在哪里看过或听别人讲过，可能要用到微积分的知识；C 工程师觉得比较无聊，不屑一顾；D工程师自信心不足，反应比较冷淡。

我交待他们利用下班时间仔细思考一下，就当换换脑子，明天给出答案。

第二天，我找A工程师要答案，A说有大致和他人讨论了一下，自己也作了一些思考，接着把他的想法解释了一遍。

A的答案基本正确，但逻辑不是很严谨，存在有一些漏洞。其它几位工程师则以各种理由没有给出答案。

A相对比较积极，愿意开动脑筋，存在的主要问题是没有将推导步骤详细写下来并进行仔细推敲，导致出现逻辑上的纰漏。其他人则可能认为与工作没有关系，没有引起重视。如果是面试，笔者认为A是可造之才，其它人当然也不会让面试官引起重视。

从四个人的不同表现来看，归纳起来存在以下几个方面的问题：

1、缺乏好奇心。

好奇心是个体遇到新奇事物或处在新的外界条件下所产生的注意、操作、提问的心理倾向。好奇心是个体学习的内在动机之一，是个体寻求知识的动力，是创造性人才的重要特征。

好奇心是认识事物最原始最本能的驱动力，小孩子天生就有很强的好奇心，初来咋到人世间，对身边的一切都充满了好奇，“十万个为什么”让很多年轻父母很伤脑，如果在这个时期父母能够正确应对并加以引导，保留住孩子的好奇心，对小孩今后的成长无疑会有很大的帮助。

其实人们喜欢做某些事情最初的动力也是出于好奇，很多伟大的发明开始也是源于好奇，著名科学家可以说都是极具好奇心的人。牛顿对一个苹果产生好奇，于是发现了万有引力；瓦特对烧水壶上冒出的蒸汽也是十分好奇，最后改良了蒸汽机；爱因斯坦从小比较孤僻喜欢玩罗盘有很强的好奇心；伽利略也是看吊灯摇晃而好奇发现了单摆。这些科学家的故事在小学课本上就出现过，只可惜很多人记住了故事的内容，没有领会故事的内涵。

机械设计工作是一项创造性的工作，作为机械工程师要有一颗强烈的好奇心。

记得二十年前，部门领导说要从我们所在的自动化设备开发部门派人去支援刚成立的SMT部门，当时笔者几乎对SMT一无所知，但强烈的好奇心，主动第一个表示愿意。后面的工作让让对SMT有了很直观的了解和认识，不仅了解了相关的工艺制程和设备，还从这些先进设备中学到了不少的设计理念。

2、不愿尝试。

尝试就是试着去做以前没做过且结果不确定的事情。很多事情，尝试一下，可能并不像你想象的那样简单，也并不像你想象的那么复杂。尝试强调的是行动，没有行动就永远没有结果，做过了无论结果如何，从知识和经验的角度来看，总是一种成长。比如我们文章描述的这个题目，看起来很简单，但是要把整个的推导过程很严谨地写出来并不是每个人都可以很快就做得到做得好。

机械设计尤其是非标设计很多项目于工程师个人来讲从来没有接触过，尽管可以通过各种技术手段和方法进行分析预估可能存在的风险，但也会有很多意想不到的细节问题导致结果的不确定性，需要工程师有挑战自我的勇气。挑战自我、不断尝试是工程师获取新知识、提升能力的必由之路。

3、实用主义。

认为有用的知识就学，没有用的知识就不学。听起来似乎也没错，问题是到底哪些知识是有用的呢？等要用到的时候再去“临时抱佛脚”，恐怕有点来不及了。作家不会等到想好了要写什么再去读古典名著读唐诗宋词。很多人在工作中遇到困难了，才会发现知识不够用了，才明白“书到用时方嫌少”。

知识是否有用是相对的。企业招聘都是要求应聘者具备相关的知识和技能，所以你必须先具备了某些知识你才能应聘到相应的岗位，进入到相应岗位你所掌握的知识就有可能用得上了。很多的工作也是因为你具备了相关的知识和技能才有机会去做的，“机会是留给有准备的人的”。

十多年前，小轿车开始进入家庭但还不是很普及，很多人开始练车拿驾照，但有人总是说既买不起车也不开车，学它干什么？后来很多人原本没有买车的计划也因为拿了驾照买了车。直到十几年后的今天小轿车很普及了，当初说学车无用的人也一直没有去考驾照当然也没有买车，原因不是买不起车，而是觉得买车没有用。其实开车和不开车最大的区别是心理距离改变，不开车，10公里的距离会觉得很远，有了车30公里的距离可能也觉得不算太远，这个心理距离的改变会直接影响你的工作和生活。

富士康总裁郭台铭有句名言，“先知先觉，后知后觉，不知不觉”，是针对宏观经济变化、科技发展、企业发展来讲存在的三类人，其实寻常百姓对周边所发生的事情何尝不是这样，QQ、网购、支付宝、微信、滴滴打车，以及未来的5G的应用，科技的发展日新月异，无时无刻不在影响每一个人的工作和生活，越早接受越能体验高科技带来的红利和便利。

当然也并不是说什么知识都要毫无目的去学，毕竟人的时间和精力都是有限的，最好是结合自己的兴趣爱好以及职业规划，来制定自己的学习目标和计划，尤其是专业类的知识一定要与自己当前的工作和未来职业规划联系起来。

无论从事什么样的工作，都需要在平时不断地学习和积累，不仅要有专业的知识，还需要掌握很多相关的知识，所以知识的学习不能局限于专业知识，有些知识本身就是教人如何去学习和思考的，无论你从事什么样的工作都是有所帮助的，对于这类知识恐怕就是开卷有益多多益善了。

4、不愿究根到底。

表现在对知识的学习浅尝辄止不够深入，不愿意作深入探究，这样不利于知识的学习，学到的知识也不牢；看问题不够全面，只看到表面现象，看不到问题的本质，这样不利于问题的解决，解决也不彻底。只有究根到底，对所学的知识有足够深入的了解，才能融会贯通，才能由此及彼，才能使问题从根本上得到解决。

要做好一项工作一件事情必须要有目标要有结果，要有不达目的不罢休的决心。没有这样的决心，很多事情就容易半途而废前功尽弃。人们常说“不到长城非好汉”，就是对这种“死磕”精神的诠释。

做机械设计就需要有这种“死磕”的精神。设计的本质就是依据各种限制条件和有限的资源进行平衡取舍的过程，在方案设计阶段不仅要面对解决技术上的各种问题，还要满足客户不同人的各种想法和要求，每一个人看问题的角度不同，所关注的侧重点也不同，都需要工程师有“死磕”精神去面对和解决。在设计细化、调试的过程中也会遇到各种意想不到的问题，需要工程师去究根到底，找到问题的根源，才能最终解决问题。

5、好高骛远。

对自认为简单的事情不屑去思考和动手去做，一心想着去做“大事”，不愿意在小的事情上花时间和精力，诸不知大事是由很多小事组成的，复杂的事物是由很多简单的事物构成的。

古人说，“一屋不扫何以扫天下”， 意思是说做人做事要脚踏实地，一步一个脚印，不能好高骛远，眼高手低，光说不练。做很多事情是从最基础的事情做起的，所谓“万丈高楼平地起”。

复杂的机器也是由很多简单的零件和部件组成的，机器最终的性能取决于各零部件的性能，很多项目的失败往往出在很多小的细节上，所谓“魔鬼出在细节里”。

评价一个设计好不好，是在满足功能的前提下结构越简单越好，而不是越复杂越好。简单的结构实现复杂的功能才更体现工程师的实力，所以工程师要脚踏实地，从简单的事情做起，把简单的事情做得“不简单”（不是复杂化，而是要下功夫才能做到），注重知识和经验的积累。

6、思维逻辑不严谨。

严谨的思维逻辑是把事情做好的先决条件。做任何事情都需要有好的逻辑和方法，否则就会漏洞百出。

逻辑思维能力是指正确、合理思考的能力。即对事物进行观察、比较、分析、综合、抽象、概括、判断、推理的能力，采用科学的逻辑方法，准确而有条理地表达自己思维过程的能力。它与形象思维能力截然不同。逻辑思维能力不仅是学好数学必须具备的能力，也是学好其他学科，处理日常生活问题所必须的能力。数学是用数量关系（包括空间形式）反映客观世界的一门学科，逻辑性很强、很严密。

逻辑思考能力的培养首先是平时养成习惯，注重逻辑思考能力的培养，还要掌握一定的方法。

本文所出的题就是涉及初中所学的内容，主要就是检验工程师的逻辑推理能力。

提到初中数学，很多人会马上蹦出一句话来，“代数代数，撕了再做，几何几何想破脑壳”，听老师讲的时候不觉得有多难，但往往一做就不会，对于稍复杂的题目更是无从下手。几何证明成为教学中的一个难点，也是学生成绩提高的一大障碍。

要证明一个命题的正确时，先从已知的条件出发，通过一系列已确立的命题（如定义、定理等），逐步向前推演，最后推得要证明的结果，这种思维方法，叫做综合法。可简单地概括为：“由因导果”，即“由原因去推导结果”。

要证明一个命题正确，为了寻找正确的证题方法或途径，可以先设想它的结论是正确的，然后追究它成立的原因，再就这些原因分别研究，看它们的成立又各需具备什么条件，如此逐步往上逆求，直至达到已知的事实，这样思维方法，就叫做分析法。可简单地概括为：“执果索因”。即“拿着结果去寻找原因”。

分析法的特点是从要证明的结论开始一步步地寻求其成立的条件，直至寻求到已知条件上。综合法的特点是从已知条件开始推演，一步步地推导结果，最后推出要证明的结果。证几何题时，在思索上，分析法优于综合法，在表达上分析法不如综合法。分析法利于思考，综合法宜于表述，在解决问题中，最好合并使用。对于一个新问题，我们一般先用分析法寻求解决，然后用综合法有条理地表述出来。

以上的方法是不是很熟悉，是不是我们在设计和解决问题的过程中经常要用到的，这就是我们所说的逻辑思考方法。

逻辑思维能力和空间想象能力是从事机械设计工作必须具备的基本技能。根据客户需求拟定功能设计要求，再将功能进行分解，设计相应的部件和零件。很多设计做出来以后并不觉得有多难和多新奇，但是从无到有是一个很复杂的过程，需要工程师要有很强的综合能力，其中很重要的能力就是逻辑思维能力。思考逻辑不足或不严谨会给设计带来很大的困难，造成极大的风险。

7、封闭型（抗拒性）思维。

不管别人的建议、要求、观点是否正确合理，首先表现出来的是抵触的情绪和抗拒的态度，不等别人把话说完就先怼了回去再说，是一种典型的抗拒性思维。有这种思维的人往往固执己见，自我封闭，不太容易接受别人的观点，很难接受和获取新的知识，不太容易从别人身上获得帮助。

思维方式是看待事物的角度、方式和方法，它对人们的言行起决定性作用。不同的思维方式决定着不同的言论和行动，成就不同的人生。

抗拒性思维的特点就是别人说什么，他都说“NO”。一个人如果拒绝接收信息，就可以找出各种理由来说“NO”。抗拒性思维是把事物彼此割裂开来、孤立起来、封闭起来，使思维具有保守性、被动性和消极性的形而上学思维。

与之相反的是开放性思维。所谓开放性思维，是指突破传统思维定势和狭隘眼界，多视角、全方位看问题的思维；开放性思维本质上具有反教条和实事求是的特征。具备了开放性的思维方式，就能够不断地有所发现、有所发明、有所创造、有所前进。

开放性思维要求我们在认识事物的过程中，突破传统的狭隘观点，摒弃规规矩矩的简单继承手段，以一种开放、包容的态度接触和认识事物，从而力图有所创造，这点对于个人的成长和社会的进步都是十分重要的。

保持开放性思维，因为你会发现原来的世界就像“坐井观天”故事里的那口井，一直以为那就是世界的全部。而当你走出来，或者说拥有“开放性思维”，你会发现，世界是那么的精彩斑斓，远比那口井要大太多！

机械设计是一项创造性工作，需要工程师具有开放性思维和开放的态度。尤其是在科技发展日新月异的今天，更加需要以开放性的思维去接受扑面而来的新观念、新技术，去学习和掌握更多的新知识和技能。机械设计经常需要脑力激荡，融合多人的想法，依靠团队的集体智慧才能有更好的创意，找到最佳的方案。不仅如此，工程师还要以开发的态度主动与他人交流，去请教有经验的的设计工程师、现场装配的工程师，还包括现场的使用者、零件供应商，在解决问题的同时学到更多新的知识。

孔子说“三人行必有我师”，从字面上的理解就是，三个人在一起，其中必定有人在某个方面是值得我学习的，那他就可当我的老师，当然，这里的“三”应该作为虚数，泛指多人。孔子深层的意思是说，学无止境，不管一个人的学问多大，总有你不擅长的地方，不应该因为某一方面比别人强就骄傲自满，要具有虚心向别人学习的态度，

俗话说“天外有天，人外有人”， 自己的才华能力再高，在这世上也有比自己更有才华的人。这句的意思是告诉人们：强中更有强中手，一山还比一山高。

8、没有好的做事方法。

很多人做事，效率低下，问题多，丢三落四，顾此失彼，其实是没有找到好的做事方法和习惯。

好的做事和学习方法是把工作完成好和自我提升的必由之路。做任何事情都要讲求方法，做机械设计更需要讲方法。

比如说养成记录的习惯就是一个好的方法。设计中有什么问题不一定马上解决，但必须先记录下来；现场发生的什么问题，怎么解决的要记录下来；与客户沟通，沟通的内容包括客户提出的问题要详细记录下来；有了好的设计灵感了也要马上记录下来；记录下来的目的是防止遗漏、遗忘，便于归纳总结。

具体关于机械设计的方法不是本文的重点，可关注机械设计轻松学公众号查阅学习。

9、缺乏学习的主动性

学习有主动学习和被动学习之分。在学校里有的学生是有自己的目标和规划，除了完成正常的学业外，还能主动学习课外知识和其他相关专业的课程。有的学生则是除了上课应付老师布置的作业，其它时间则是“享受学生时代的美好时光”。工作后的主动学习者，有自己的职业规划和清晰的目标，提前补足自己的短板，等到要用的时候驾轻就熟。

工作后学习与在学习里学习有很大的区别。工作后的学习更强调学习自觉性。最显著的特征是在学校里学习是要缴费的，而在工作中学习是拿工资的。学习里是按照教学大纲的安排，老师照本宣科去授课，学生按部就班来学习。工作中的学习则是在承担任务的过程中，遇到问题要解决，随时需要用到新的知识，具有很强的随机性，必须具备较强的学习能力和领悟能力。

以上问题并非上纲上线，只是借此来说明工程师比较普遍存在的一些问题。

在看到答案之前，我们还探讨一个问题，作为对前面问题的补充说明。华为、阿里巴巴等高科技企业为什么只招211、985等名校的学生？一般来说，刚参加工作的学生，实际工作经验基本上都为零，即使参加过工厂实习和社会实践，哪怕跟着导师做过一些题，所积累的工作经验微乎其微。准确答案无从得知，个人的观点是看重学生的以下一些特质：

1、理论基础知识比较扎实。对自己所掌握的知识有比较清晰的认知，会就是会不会就是不会。

2、思维活跃，有较强的接受能力和领悟能力。

3、有较强的自我控能力，有较好的学习态度，学习主动，勤学好问，努力刻苦。

4、自学能力强，有较好的学习方法。善于对知识的梳理归纳和总结，有明确的学习目标和规划。

5、善于独立思考，逻辑思维能力强。

6、有较强的自信心、上进心和不服输的精神。

7、有自己的理想和追求，对自己有较高的要求。

无论从事什么样的工作，从选才的角度来讲具备以上特质都是受欢迎的，如果不考虑成本的话换了任何一个企业都会做出这样选择。

当然并不一定是说所有重点名校的学生都具备以上一些特点，而其他大学的学生都不具备。我认为这些公司是从大概率的角度来看问题，公司有了吸引了又不差钱当然是优中选优了。

一般学校毕业的学生也不必气馁，知道了企业需要什么样的人才，知道了要成为人才需要具备什么样的特质，就可以朝这个方向去努力。无论你在什么样的公司，处于什么样的岗位，只要保持一颗学习的心、进取的心就一定能把自己的才能发挥出来，俗话说“是金子总会发光的”。

好了，下面开始答题。首先声明，答案并非唯一，（网络上有另外一种方法姑且称之为切分拼凑法）本人认为解决同样的问题用到的知识越基础越好，用到的方法越简单越好。所以这里主要用到初中知识和常规方法，有兴趣者可以用更多其他方法，尽量详细严谨。

回顾一下，圆的面积公式： S =πr^2

其中：S代表圆的面积，π圆周率，r是圆的半径。

先来了解什么是面积？

百度词条里的定义：面积是表示平面中二维图形或形状或平面层的程度的数量。我的理解是：平面内某一确定范围内包含单位形状大小的数量，如以毫米为单位，则是平面内某一确定范围内包含长宽为1毫米正方形大小数量，面积以平方毫米为单位。以米、公里等其它长度为单位依次类推。

我们来看看长方形的面积。假定长度a=6，宽度b=5，该长方形的面积S=a*b=6*5=30。从图１中可以看出长方形内小正方形的数量就是30。

我们再来看看三角形的面积。底边a=6，高b=5，我们将三角形补正为长方形，如图2，该三角形的面积,：S=a*b/2=6*5/2=15。

好了，我们记住三角形的面积公式：S=a*b/2。可记成：底乘以高除以2。

π为圆周率，是圆周长与直径的比值，即π=L/D，其中：L为圆的周长，D为圆的直径。

无论圆的大小如何变化，π始终是一个固定值，我们可以理解为是圆的一个特性。

将公式转换：L=π*D=2πr 其中：r为圆的半径。

画一个圆，然后以过中心的线段将圆分别切分成12等分，如图3，圆的面积等于切分后这些小的扇形面积之和，这个结论总是成立，与将圆切分多少等分没关系。

扇形面积我们不知道，但前面我们已经知道三角形的面积公式。

如图4，三角形OAB的面积与扇形OAB面积相差一个弓形的面积，如图5所示阴影部分。如果阴影面积越小，三角形的面积与扇形的面积相差越小。

如图6，以过中心的线将圆分别切分成12、36、90等分。切分的的等分越多，A、B两点之间的距离越小。当切分的等分数多到一定程度时，三角形面积与扇形的面积很接近，我们就可以用三角形OAB面积来代替扇形OAB的面积。

切分的等分数用n来表示。

如图5所示，

三角形面积：SOAB =│AB│*│OC│/2

则圆的面积：S≈SΔOAB *n=│AB│* │OC│/2*n （1）

当圆被切分无限多等分时，也就是n趋于无穷大，则：

（1）A、B两点之间的距离趋近于零（但不等于零），那么A、B两点间的距离（弦长）与弧长几乎相等。将每一个小三角形QAB中A、B两点之间的距离全部相加就是圆的周长，即 L=│AB│*n=2πr （2）

（2）OC与OA 相等，即：│OD│=│OA│=r （3）

将（2）、（3）式分别代入（1）式

圆的面积S=│AB│*│OC│/2*n=(│AB│*n)*│OC│/2= L*r=2πr*r/2=πr^2 （4）

至此，推导完成。

这个题目很简单，写出答案并不难，主要是考察答题者的思考逻辑和做事的态度和方法，是否能做到思路正确，逻辑严谨。将推导过程详细写下来的好处，一是可以反复推敲，避免漏洞，使过程更清晰完整；二是考察表述能力，完整写出来比想和说更有难度，所谓“做到比光说不练难”。

本文目的不是给读者上一堂初中数学课，笔者想借此表达如下观点：

1、在学校里所学的知识，如果真正融会贯通了，一般不会忘记；

2、思考逻辑和方法是学校学习的重点，无论从事什么样的工作都会有用。

3、分享一种做事的方法和做事的态度。

说明：本文首发于同名公众号《机械工程文萃》，转载时有少量修改。

后记：时隔一段时间再读原来写的文章，发现文章中一些文字表述方面的问题，正如笔者看别人写的文章，越细读越斟酌觉得问题越多。其实我们写文章也好做机械设计也好都有类似的现象。

文章发布出来一是分享自己的一些观点，二是抛砖引玉，欢迎读者留言讨论，赐教斧正。

笔者在网络上看到有另外一种推导圆面积公式的方法，姑且称之为切分拼凑法，读者可自行百度搜索学习。