学好数学“绝对值”②
【绝对值的性质】
1.非负性
|a|≥0；若|a|+|b|+|c|=0，则a=b=c=0；若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0.
绝对值实为距离，绝对最小零距离。2.双解性
若|a|=|b|，则a-b=0或a+b=0；
若|x-a|=b，则x=a+b或x=a-b.
绝对值实为距离，左右各一莫丢弃。3. 可分性
|ab|=|a||b|；|a/b|=|a|/|b|(b≠0).
绝对值实为距离，乘除运算可分离。
4.多变性
|a|=|-a|=√a²=√(-a)²；
|a-b|=|b-a|=√(a-b)²=√(b-a)²；
|a²|=|a|²=|-a²|=a².
5. 不等性
若|x|＜a(a＞0)，则-a＜x＜a；
若|x|＞a(a＞0)，则x＞a或x＜-a；
|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|(三角不等式)；
|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|(三角不等式).
6. 符号性
若|a+b|=|a|+|b|，则ab≥0； 若|a-b|=|a|+|b|，则ab≤0； 若|a+b|=|a|-|b|，则ab≤0; 若|a-b|=|a|-|b|，则ab≥0. 同加异减绝对值，绝对相加增吾志。 异加同减绝对值，绝对相减去无知。
【例题剖析】
(1)|x+1|的最小值为____.
(2) |x+1|+|x-2|的最小值为____.
(3)|x+1|+|x-2|+|x-3|的最小值为____.
(4) 2|x+1|+|x-2|的最小值为____.
(5)|x+1|+2|x-2|的最小值为____.
(6) 1.5|x+1|+2.5|x-2|的最小值为____.
(7) 2.5|x+1|+1.5|x-2|的最小值为____.
(8) |x+1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值为____.
(9) 2|x+1|+|x-2|+|x-3|的最小值为____.
【题目解析】
(1) 当x+1=0，即x=-1时，|x+1|取得最小值0；
(2) 当-1≤x≤2时，|x+1|+|x-2|取得最小值3；
(3) 当x=2时，|x+1|+|x-2|+|x-3|取得最小值4；
(4) 2|x+1|+|x-2|=|x+1|+|x+1|+|x-2|，
当x=-1时，2|x+1|+|x-2|取得最小值3；
(5)|x+1|+2|x-2|=|x+1|+|x-2|+|x-2|，
当x=2时，|x+1|+2|x-2|取得最小值3；
(8)当2≤x≤3时，
|x+1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|取得最小值6.
(9)因为2|x+1|+|x-2|+|x-3|
=|x+1|+|x+1|+|x-2|+|x-3|，
所以当-1≤x≤2时，
|x+1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|取得最小值7.
【实战演练】
(1)|x+1|+|2x+4|的最小值为____；
(2) |2x+1|+|3x-6|的最小值为____；
(3)若|x+1|+|2x+a|的最小值为3，则a的值为____;
(4)若|x+1|+|2x+a|≥3，则a的取值范围是____；
(5)若|2x+1|+|ax-6|的最小值为4，则a的值为____.
【题目解析】
(1) 当2x+4=0，即x=-2时， |x+1|+ |2x+4| 取得最小值1； (2) 当 3x-6=0，即x=2时， |2x+1|+ |3x-6| 取得最小值5；
TheEnd,Byebye!
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