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学好数学“绝对值”②

【绝对值的性质】

1.非负性

|a|≥0;|a|+|b|+|c|=0a=b=c=0;|a|=aa0;|a|=-aa0.

绝对值实为距离,绝对最小零距离。

2.双解性

若|a|=|b|a-b=0或a+b=0;

若|x-a|=b则x=a+b或x=a-b.

绝对值实为距离,左右各一莫丢弃。

3. 可分性

|ab|=|a||b||a/b|=|a|/|b|(b≠0).

绝对值实为距离,乘除运算可分离。

4.多变性

|a|=|-a|=√a²=√(-a)²

|a-b|=|b-a|=√(a-b)²=√(b-a)²

|a²|=|a|²=|-a²|=.

5. 不等性

若|x|<a(a0),则-axa

|x|a(a0),则x>a或x<-a

|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|(三角不等式)

|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|(三角不等式).

6. 符号性

若|a+b|=|a|+|b|,则ab≥0 |a-b|=|a|+|b|,则ab≤0 |a+b|=|a|-|b|ab≤0; |a-b|=|a|-|b|ab0. 同加异减绝对值,绝对相加增吾志。 绝对值,绝对相减去无知。

【例题剖析】

(1)|x+1|的最小值为____.

(2) |x+1|+|x-2|的最小值为____.

(3)|x+1|+|x-2|+|x-3|的最小值为____.

(4) 2|x+1|+|x-2|的最小值为____.

(5)|x+1|+2|x-2|的最小值为____.

(6) 1.5|x+1|+2.5|x-2|的最小值为____.

(7) 2.5|x+1|+1.5|x-2|的最小值为____.

(8) |x+1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值为____.

(9) 2|x+1|+|x-2|+|x-3|的最小值为____.

【题目解析】

(1) 当x+1=0,即x=-1时,|x+1|取得最小值0;

(2) 当-1≤x≤2时,|x+1|+|x-2|取得最小值3;

(3) 当x=2时,|x+1|+|x-2|+|x-3|取得最小值4;

(4) 2|x+1|+|x-2|=|x+1|+|x+1|+|x-2|,

当x=-1时,2|x+1|+|x-2|取得最小值3;

(5)|x+1|+2|x-2|=|x+1|+|x-2|+|x-2|,

当x=2时,|x+1|+2|x-2|取得最小值3;

(8)当2≤x≤3时,

|x+1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|取得最小值6.

(9)因为2|x+1|+|x-2|+|x-3|

=|x+1|+|x+1|+|x-2|+|x-3|

所以当-1≤x≤2时,

|x+1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|取得最小值7.

【实战演练】

(1)|x+1|+|2x+4|的最小值为____;

(2) |2x+1|+|3x-6|的最小值为____;

(3)若|x+1|+|2x+a|的最小值为3,则a的值为____;

(4)若|x+1|+|2x+a|≥3,则a的取值范围是____

(5)|2x+1|+|ax-6|的最小值为4,则a的值为____.

【题目解析】

(1) 当2x+4=0,即x=-2时, |x+1|+ |2x+4| 取得最小值1; (2) 3x-6=0,即x=2时, |2x+1|+ |3x-6| 取得最小值5;

TheEnd,Byebye!

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