第一章 微专题 排列组合中的典型案例
在解决排列组合的应用问题中，在分类与分步过程中，容易重复计数以及遗漏计数，而且对题干的分析、理解也是学生困惑的地方，掌握常见的解题策略，能运用常见的解题策略解决排列组合的应用问题，是学生掌握排列组合的关键．
一、排队问题
例1 3男3女排成一队，求在下列条件下不同的站法种数？
(1)3女生不相邻；
(2)3男生排在一起，3女生排在一起；
(3)3男生顺序固定；
(4)甲不站左端，乙不站右端．
解 (1)先站3男生，3女生再插空，共有A33·A34＝144(种)不同的站法．
(2)3男生相邻，捆绑在一起，3女生相邻，捆绑在一起再排这两组，共有A33×A33×A22＝72(种)不同的站法．
(3)3男生顺序固定，只有1种方法，
方法一 故共有A36＝120(种)不同的站法．
方法二 故共有6633＝120(种)不同的站法．
(4)间接法：共有A66－A55－A55＋A44＝504(种)不同的站法．
反思感悟 排队问题，主要掌握好相邻捆绑，不相邻插空、定序问题、正难则反(间接法)等几个解题方法．
二、不同物品的分组分配问题
例2 7本不同的书分给5人，每人至少1本，共有多少种不同的分法？
解 第一步，先把7本不同的书分成5组，有11113或11122两种情况，有31111144＋221111233＝140(种)方法．
第二步，再把这五组分配给5人有A55＝120(种)方法．
故共有140×120＝16 800(种)不同的分法．
反思感悟 分组分配问题，一般方法是先分组后分配，在分组过程中涉及平均分组或局部平均分组问题，一般的方法是平均分m组，即除以Amm.
三、错排问题
例3 元旦来临之际，某寝室四位同学各有一张贺年卡，并且要送给该寝室的其中一位同学，但每人都必须得到一张，则不同的送法有( )
A．6种 B．9种 C．11种 D．23种
答案 B
解析 四位同学记为甲、乙、丙、丁，四种贺年卡分别记为A，B，C，D，依题意，每位同学不能得到自己的贺年卡，可用列举法，如下
甲 乙 丙 丁
B A D C
B C D A
B D A C
C A D B
C D A B
C D B A
D A B C
D C A B
D C B A
所以共有9种送法．
反思感悟 错排问题一般用列举法，其方法简单有效．常见的错排：3人错排2种方法，4人错排9种方法，5人错排有44种方法．
四、袜子手套问题
例4 有5双袜子，从中任选4只，求在下列条件下的不同选法种数？
(1)恰有1双；
(2)都不成双．
解 (1)依题意，恰有1双，另两只不成双．
第一步，先选1双，有C15种方法，第二步，从剩下的4双中选两双，再每双选一只，有C24·C12·C12种方法，
共有C15C24C12C12＝5×6×2×2＝120(种)不同的选法．
(2)都不成双，即4只袜子来自不同的4双，
即先选4双袜子，再每双袜子选一只，
共有C45C12C12C12C12＝80(种)不同的选法．
反思感悟 袜子手套问题，要注意不管是选一双，还是选一只都要成双的选，选一只的时候分两步，先选一双，再从这一双中选一只．
五、多面手问题
例5 现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任)．现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？
解 方法一 可以分三类．
第一类，让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，有C24C23种选法；
第二类，让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作，有C34C13种选法；
第三类，两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，有C34C23种选法．
根据分类加法计数原理，一共有C24C23＋C34C13＋C34C23＝42(种)不同的选法．
方法二 共8名青年，4名只能胜任英语翻译工作，3名只能胜任德语翻译工作，还有1名两项工作都能胜任，简称多面手人．把选取的2名从事德语翻译的青年作为研究对象．
第一类，这2名青年无多面手，有C23·C35种方法．
第二类，这2名青年有1名多面手，另1名来自只能胜任德语翻译工作有C11C13C34种方法，
故共有C23C35＋C11C13C34＝3×10＋3×4＝42(种)不同的方法．
反思感悟 多面手问题，关键在于多面手参与的项目与数量，可以从多面手参加的项目出发分类讨论，也可以从其中一个项目出发，分类讨论该项目中多面手的数量．
六、相同的物品分组、分配问题
例6 六本相同的书，在下列条件下求不同的分法？
(1)分成三组，每组至少1本；
(2)分给三人，每人至少1本．
解 (1)六本不同的书，分成三组，每组至少1本，有1,2,3；1,1,4；2,2,2三种情况，因为6本书相同，故共有3种分法．
(2)六本书分给三人，每人至少1本．
第一类，六本书分成1,2,3三组，再分配给3人有1×A33＝6(种)分法．
第二类，六本书分成1,1,4三组，再分配给3人有C13＝3(种)分法．
第三类，六本书分成2,2,2三组，再分配给3人，有1种分配方法，故共有6＋3＋1＝10(种)不同的分法．
反思感悟 相同的物品分组只有1种方法，但是在分配的时候，要注意每组是否相同，若每组的相同物品的数量不同，则各组是不一样的，分配的时候需考虑顺序，若每组的数量相同，则每一组也是一样的，分配时不需考虑顺序．
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