登峰造极，20几岁的阿贝尔，做出了19世纪最伟大的数学发现之一
1801年，天文学家应该能在夜空中观察到，一群出色的数学天才即将大放异彩，开创数学史上最伟大的世纪。在那一群光彩夺目的天才中，没有比尼尔斯·亨里克·阿贝尔（Niels Henrik Abel）更闪耀了。埃尔米特在谈到阿贝尔时说，"他给数学家们留下了够他们忙上500 年的东西。”
1802年8月5日，阿贝尔出生在了挪威。阿贝尔的母亲极为漂亮（阿贝尔继承了她的颜值）。同其他几个第一流的数学家一样，阿贝尔很早就发现了自己的天赋。16岁时，他通过自学就透彻地领会了他的前辈们，包括牛顿、欧拉和拉格朗日的伟大著作。若干年后，有人问起他怎样迅速地进入了第一流的行列中，他回答：向大师们学习。
今天我们知道，19世纪以前的大师们认为他们已经证明了的很多东西，实际上根本没有被真正证明。特别是欧拉关于无穷级数和拉格朗日关于分析学的一些研究更是如此。阿贝尔敏锐地意识到他的前辈们推理中的缺陷，他决心弥补这些不足。他在这方面的杰作之一，是首次证明了一般二项式定理，牛顿和欧拉对这个定理的一些特例作过说明，但是要给这个定理的一般情形作出可靠的证明却不容易。
阿贝尔在数学上的第一个抱负是解决一般五次方程问题。一般五次方程在代数中所起的作用，类似于决定一个科学理论命运的关键性实验。在中学代数的开始，我们学过一次或二次的一般方程，比如
然后又了解了三次和四次方程，比如
对一次到四次的一般方程，我们得出了解的有限公式，即用已知的系数a，b，c，d，e来表示未知数x。这样的解就称为代数解。在代数解的这个定义中，一个重要的条件是"有限"；即由方程的系数通过有限次的四则运算及根号组合而成的公式解。在成功地解出了前四次代数方程之后，代数学家们奋斗了差不多三个世纪，想要解出一般五次方程的代数解，
但没有人能成功。阿贝尔就从这里开始。下面的内容摘自阿贝尔的论文《论方程的代数解》。
代数中最有趣的问题之一是求方程的代数解。因而几乎所有卓越的数学家都曾讨论过这个问题。我们能够很容易得出前四次方程的根的一般表达式。发现了解前四次方程的统一的方法，人们相信它也能应用到任意次的方程上；但是，尽管拉格朗日和其他杰出的数学家尽了一切努力，预期的目的仍没有达到。这导致了一般方程不可能代数求解的推测；但是这又是无法确定的，因为所用的方法，只是在方程可解的情况才能得出确切的结论。
……
这个要采用的真正的科学方法，由于它需要的计算极其复杂，因而极少被采用，他继续说：
我已经用这种方式探讨过分析学的几个分支，虽然我给自己提出的问题经常超出我的能力，我还是得出了大量的一般结果，这些结果有力地说明了量的性质，而阐明这些量的性质，正是数学的目的。在另外一篇论文中，我将讨论最一般的方程的代数求解问题。
他讨论了两个相关的一般问题：
找出所有任意给定次数的代数可解方程；
判定一个已知的方程是否代数可解。
阿贝尔还没有来得及回到这些问题上，他那抑制不住的创造力就催促他去考虑更广泛的问题了；而这些问题的完整的解答留待伽罗瓦去回答了。尽管阿贝尔在代数上的工作是划时代的，但较之他创造了分析学的一个新的分支则黯然失色。正如勒让德所说，这项工作是阿贝尔的"永世长存的纪念碑"。
19世纪，法国是世界的数学皇后；而德国有数学王子高斯。1825年8月，23岁的阿贝尔在政府的资助下开始了法国和德国的学习之旅。他带上了自己的论文，在一篇论文中他证明了用代数方法不可能解一般五次方程。阿贝尔天真地相信这就是他通向欧洲大陆的数学家们的科学护照，他特别希望高斯会看出这项工作的重要意义。但他不知道，这位"数学王子"有时候对竭力想得到承认的年轻数学家，一点也没有表现出王子般的大度。
高斯如期收到了这篇论文。但是他没有看一眼就把它抛在了一边。从那以后，阿贝尔很讨厌高斯，一有机会就诋毁他。他说高斯写的东西晦涩难懂。高斯常常为了他在这件事情上的"傲慢的轻视"而受到指责。那时一般五次方程的问题已经人尽皆知。如果今天一个数学家收到化圆为方的所谓解答，他不一定会搭理作者。因为他知道林德曼在1882年证明了不可能只用尺规化圆为方—。他也知道林德曼的证明是任何人都能够接受的。
阿贝尔手稿
在1824年，一般五次方程的问题几乎与化圆为方的问题相当，因此高斯不耐烦了。但是这个问题还没有被证明不可解，阿贝尔的文章提供了证明。高斯要是耐着性子的话，本来是可以读到一些使他很感兴趣的东西的。只要他的一句话，阿贝尔可能就会成名，甚至阿贝尔的生命也可能延长。
阿贝尔在1825年9月离家以后，首先访问了挪威和丹麦的著名数学家和天文学家。然后，去了柏林。他在柏林碰到了一个叫奥古斯特·利奥波德·克列尔的人，这个人将成为他在科学方面的伯乐。"克列尔"已经成了象征他创办的杂志的专用名称，该杂志的前三卷包括了阿贝尔的22篇论文。阿贝尔的伟大工作使这份杂志在整个数学界久负盛名；最后该杂志又使克列尔成了名。
克列尔
克列尔本人是一个数学爱好者，而不是一个有创造力的数学家。他的职业是建筑工程师。他很早就在工作中出人头地，建造了德国第一条铁路。在空闲的时间，他认真研究数学，而不仅仅把它作为一种业余爱好。他在1826年创办的《纯粹数学与应用数学杂志》给德国数学以很大的促进。这份杂志的创办，是克列尔对数学发展的最大贡献。这份杂志是世界上第一份专门刊登数学研究成果的定期刊物。从1826年直到现在，《克列尔》每三个月出版一期，刊登新的数学文章。今天，有几百种杂志全部或相当大一部分参与纯粹数学和应用数学的发展进程。
阿贝尔向克列尔提及出了他的不可能用代数方法解一般五次方程的证明。克列尔连听都不愿听；任何这样的证明都一定有问题。但是他接受了这篇论文，承认阿贝尔的推理在他之上——最后在他的《杂志》上发表了阿贝尔的详尽的证明。
柏林丰富的社交活动开始使阿贝尔不能专心工作，他躲到弗赖堡去了，在那里他可以集中精力工作。正是在弗赖堡，他把他最伟大的工作锻造成型了，创造了现在所称的阿贝尔定理。但是他还得赶赴巴黎，去会见当时第一流的法国数学家——勒让德、柯西和其他一些人。
从一封阿贝尔写给天文学家汉斯廷的信中，可以看出阿贝尔要重建数学分析：
在高等分析中，很少有几个命题是被极其严格地证明了的。……找出造成这种情形的原因确实是非常有趣的。在我看来，原因就在于这样的事实：迄今在分析学中出现的函数，大多数都能够表示为幂函数……当我们采用某种一般方法时，并不太难；但是我必须非常谨慎，因为没有严格证明的命题已经在我们的心里生了根，以致我们常常冒着不做进一步检查就采用它们的危险。这些琐碎的东西将出现在克列尔先生出版的杂志中。
1826年10月，阿贝尔的《论非常广泛的一类超越函数的一般性质》被呈交给巴黎科学院。这就是被勒让德称为“永恒的纪念碑”的论文，也是埃尔米特说的“够未来数学家忙上500年的东西”。它是现代数学的一项登峰造极的成就。
勒让德和柯西被任命为这篇论文评阅人。勒让德抱怨说：“我们发觉这篇论文很难辨认；它是用淡得几乎是白色的墨水写的，字写得很糟，我们两人认为应该要求作者送一份写得整齐易读的来。”柯西把论文带回家，不知放在什么地方，完全把它给忘了。
雅可比
雅可比惊呼，“阿贝尔先生的这个发现是什么样的发现啊！……有谁看见过同样的东西吗？这个发现，也许是我们这个世纪最伟大的发现，在两年前就交给你们科学院了，可你的同事们怎么会没有注意到它呢？"柯西在1830年把它翻了出来。最后它发表在《法兰西科学院著名科学家论文集》，但那时已经是1841年了。
下面是论文的开始几段，
迄今数学家研究过的超越函数，数目非常之少。实际上，超越函数的整个理论简化成了对数函数、三角函数和指数函数，实质上只是简单的一类函数。只是到了最近，才开始考虑其他一些函数。在后来考虑的函数中，椭圆超越函数占据首位，它们的显著而精致的性质是勒让德先生发展起来的。阿贝尔在他的论文中，研究了很广泛的一类函数，即所有那些导数可以由系数为单变量有理函数的代数方程来表示的函数，他已经证明了这些函数的一些与对数函数和椭圆函数类似的性质……而且得到了下面的定理：
如果我们有几个函数，它们的导数可以是同一个代数方程的根，该方程所有的系数均为单变量有理函数，只要我们在所讨论的函数的变量之间建立一定数目的代数关系，我们就永远能用一个代数函数和对数函数来表示任意数目的这种函数的和。这些关系的数目完全不依赖于函数的数目，而只依赖于所考虑的特定函数的性质……
阿贝尔这样简单地描述的定理，今天通称为阿贝尔定理。勒让德并没有讨论过椭圆函数。勒让德花费了他一生中大部分时间研究的问题是椭圆积分，它与椭圆函数的差别，就像马与它拉的车的差别一样，这恰恰是阿贝尔对数学的一项最伟大贡献的根源所在。
阿贝尔是第一个有意识地把问题反过来研究的人。如果一个问题的解答陷入毫无希望的状况时，试着把这个问题颠倒过来，把问题作为论据，把论据作为问题。
在积分学中，反三角函数自然地以简单的定积分的形式呈现出来。当我们试图利用积分学求一个圆的弧长时，这样的积分就出现了。假定一开始反三角函数就以这种方式出现，那么考虑以这些函数的反函数，作为要去研究和分析的已知函数，不是"更自然"吗？
但是在许多更高深的问题中，最简单的问题是用积分求一个椭圆的弧长，首先出现的是棘手的反“椭圆”函数。这就使阿贝尔看出了应该把这些函数"反过来"加以研究。然而勒让德这位伟大的数学家，在他的“椭圆积分”上花了40多年的时间，却一次也没有怀疑到他应该反过来考虑。这个看待貌似简单、实际上深奥难解的问题的极其简单平常的方式，是19世纪最伟大的数学进展之一。
阿贝尔发现了由椭圆积分的反函数得出的新函数有两个周期，它们的比是虚数。在这以后，雅可比、罗森海因、魏尔斯特拉斯、黎曼，还有许多人，深入地钻研了阿贝尔的伟大的定理，他们通过发展和扩充阿贝尔的思想，发现了一些有2n个周期的n个变量的函数。阿贝尔本人也更深入地探索了他的发现。他的后继者们把整个这项工作应用到几何学、力学、数理物理学的一些部分和数学的其他分支中，解决了一些重要问题，没有阿贝尔开始的这项研究，这些问题是无法解决的。
1829年4月6日凌晨，阿贝尔去世了，只活了26年8个月。阿贝尔死后两天，（将）被任命为柏林大学的数学教授。
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