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中考数学压轴题分析：双动点产生的动点轨迹问题

本文内容选自2021年广州市中考数学压轴题，题目双动点产生的运动轨迹问题，比较综合、设计巧妙，值得研究．

【中考真题】

（2021·广州）如图，在菱形中，，，点为边上的一个动点，且，与交于点；
当为中点时，求证：四边形为平行四边形；
若，求的长；
当点从出发运动到时，求点运动的轨迹长．

【分析】

（1）由点E为AB的中点，可以得到四边形DFEC的一组对边平行且相等，因此结论得证．

（2）几何求值问题，可以考虑构造直角三角形用勾股定理解决．

（3）先确定轨迹，再求路径长．

①思路一：延长AG交BC于一点M，易得点M为定点，因此点G在线段AM上运动；

②思路二：证明∠BAG为定值，如求其锐角三角函数值（如tan）可以得到为定值，则点G在线段上运动；

③思路三：建立平面直角坐标系，得到点G的坐标满足直线解析式，那么点G在线段上运动．

④思路四：如下图，构造平行线．在BA上取一点M使得AM=1/2AB，连接DM，易得DG/GE=DC/EF=MA/AE，因此可以得到△AGE∽△MDE，那么就可以得到AG始终平行于DM，则点G在线段上运动．

【答案】

解：∵为中点，∴，
∵菱形，∴，，
∴，
∴四边形为平行四边形．
如图，过点作与，
∵菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
设，则，，
∴，，
在中，，
∴，
解得（舍去），．
∴．

如图，连接并延长交于点，连接交于点，并连接，
∵，，
∴为等边三角形．
∴．
∵∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴当点从出发运动到时，点始终在直线上运动，运动轨迹为线段，
∵当点与重合时，点与点重合；
当点与重合时，点为与的交点；
∴点运动的轨迹长为线段的长．
∵，
∴，
∴，
∴点运动的轨迹长．

另解：
如图，以点为原点，射线为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，
则点，，，．
设点的坐标为，则点的坐标为，
易得直线的解析式为，
直线的解析式为，
联立并解得点的坐标为，
所以点的坐标满足，即点的运动轨迹为线段．
当时，点的坐标为，
当时，点的坐标为．
∴点的运动轨迹长为．

本题压轴一问考查动点轨迹的问题，题目的问法与2021年越秀区一模的压轴题类似。只是轨迹由弧变成直线，解法类似。

【总结】

凡是动点轨迹问题，先判断轨迹的形状，一般分为两种：线段或弧．判断时只需取三个特殊点，如起点，中间点和终点．判断形状后再证明．

像本题这种运动轨迹为线段的问题，类似物理中的参照系，需要选择一些固定的点或线，根据相对位置不变来判断．

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