费尔巴哈圆

三角形中三边的三个中点、三个高的垂足和高的交点到各顶点的线段的三个中点在一个圆上。

此圆早已为欧拉（1765年）所知，但K·费尔巴哈（Karl Feuerbach，1800 – 1834年）（画家A·费尔巴哈（Anselm feuerbach）的叔父）于1822年再度发现该圆后，通常都称其为费尔巴哈圆。尽管它也通过其它许多有意义的点又通过上述这些点，但该圆仍以九点圆知名。

此题的证明分两步。第一步证明外接于各边中点所决定的三角形的圆通过三个高的垂足；第二步证明外接于三个高的垂足所决定的三角形的圆通过三条高的交点（垂心）到各顶点的线段的各中点。

I．设ABC为已知三角形，A′，B′，C′分别为BC，CA，AB各边的中点。设H为高AH的垂足（见图1），那么HA′B′C′ 是梯形（A′B′ 作为三角形ABC中位线等于AB21；HC′ 作为以AB为直径的泰勒斯（Thales）圆的半径也等于AB21）。这个梯形便是一个圆的内接四边形（见图2）。由此，所有高的垂足在三角形A′B′C′ 的外接圆Γ上。

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II．设三角形ABC的各高为AH，BK，CL，它们的交点为O。现将证明各高的交点（垂心）到三个顶点的线段（如OC线段）的中点也在圆F上。为此目的，研究高的垂足亦为H，K，L的三角形OBC（见图3）。根据I，外接这个三角形的三垂足所决定的三角形HKL的圆Γ过这个三角形各边中点，即过OB和OC的中点，这就完成了证明。

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推论：费尔巴哈圆的中心F落在欧拉线OU的中点，费尔巴哈圆的半径f等于三角形ABC外接圆半径的一半。

费尔巴哈圆的弦HA′ 和KB′ 的垂直平分线作为梯形UOHA′ 和UOKB′ 的中位线，通过OU的中点这一事实是这些命题中的第一命题的来由；而内接于费尔巴哈圆的三角形A′B′C′ 的各边长是三角形ABC的各边长的一半这一事实是命题中的第二命题的来由。