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拉普拉斯变换：傅里叶变换推导拉变换，这两个变换到底谁先谁后？

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科技
3年前
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【通信技术基础第9讲】从信号处理角度来看，傅里叶变换建立了从时间域到频率域的变换关系。一个时间域的信号可以分解为多个不同频率的正弦波信号，每个频率的正弦波信号可在频率轴进行表示，正如图1所示。

图1时域与频域

频域率给我们提供了另外一种看问题的视角，世界如此纷繁复杂，换个角度可能会海阔天空。傅里叶变换让我们从频域看问题，拉普拉斯变换亦是如此，它建立了从时间信号到复频域的关系。

图2复平面，来源网络

函数可积角度

还记得傅里叶变换中绝对可积的条件吗？傅里叶变换公式是积分运算，当然需要里面的函数可以积分。文章中变量有时会用时间t，有时会用x，是班长思维混乱导致，不影响阅读。

在引入积分的时候，我们用“曲线面积”这一经典案例作为引子，然后通过计算长方形的面积去逼近曲线面积。当长方形的宽度逐渐变小，长方形的数量逐渐变多，我们计算的面积越精确，如图3所示。

所以说积分运算，可以不严谨的认为区间内“面积”计算。当面积无穷大之时，表示不可积分。这样看来，我们要保证f(t)绝对可积，那么f(t)覆盖的面积不能无限大。

图3积分的定义，用不断多的矩形去逼近曲线覆盖面积

但实际情况是，很多类似像e^at(a>0)的指数函数，其曲线覆盖的面积无穷大，不可积。具体可以从指数函数图像4看出，当a>0之时，这是一个递增函数。

图4指数函数的性质

既然不可积，不想愉快的玩耍，得想辙！

给它乘以一个因子，相乘之后可积不就完事了。这个因子已经有人想好了，就是e^-σt。根据傅里叶变换公式，我们得到了s=σ+jω。

OK，s是个复数，所以我们说拉普拉斯变换是将时域变换到复频域，见图2。在通过简单的变量替换，我们可以得出拉普拉斯反变换：

引入一个e^-σt，可以解决绝对可积的问题，我们把它叫做衰减因子。从这个角度看，拉普拉斯变换就是f(t)*e^σt的傅里叶变换。

图5引入衰减因子，X^2的函数“倒下了”，来源网络

总结

除了信号处理与通信领域，似乎在经典控制理论中，更热衷于使用拉普拉斯变换。因引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替常系数微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性、分析控制系统的运动过程，以及提供控制系统调整的可能性。

最后，再让我们看一看拉普拉斯变换的历史。在19世纪末，英国有一位工程师叫做赫维赛德，他发明了一种算子，可以方便的解决电气工程的一些问题。但是你知道的，工程师吗？不会有严格的数学证明。直到拉普拉斯在自己的著作中给出了明确的数学依据，这一方法开始在电学、力学等众多的工程与科学领域中得到广泛应用。

图5拉普拉斯

法国数学家、天文学家拉普拉斯(1749─1827年)，主要研究天体力学和物理学。他认为数学只是一种解决问题的工具，但在运用数学时创造和发展了许多新的数学方法。1812年拉普拉斯在《概率的分析理论》中总结了当时整个概率论的研究，论述了概率在选举、审判调查、气象等方面的应用，并导入“拉普拉斯变换”。拉普拉斯变换导致了后来赫维赛德发现的运算微积分在电工理论中的广泛应用。来自数学爱好者(高二新课标人教版)，2008年02期

图6拉普拉斯变换简化微分方程，来源网络

拉普拉斯变换可以把线性时不变系统的时域模型简便地进行变换，求解后再还原为时间函数。它是求解常微分方程的利器哦。微分、积分通过拉式变换后，会变成乘法、除法，整个微分方程也会变成代数方程。所以这也是考研中必考的一道答题！

至于标题的问题，一种说法是傅里叶先有，拉普拉斯还是傅里叶的论文评委呢；还一种说法是拉普拉斯先有：

傅里叶变换：In 1822, Joseph Fourier showed that some functions could be written as an infinite sum of harmonics.

拉普拉斯变换：These types of integrals seem first to have attracted Laplace's attention in 1782 where he was following in the spirit of Euler in using the integrals themselves as solutions of equations. However, in 1785, Laplace took the critical step forward when, rather than just looking for a solution in the form of an integral, he started to apply the transforms in the sense that was later to become popular.