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2021年中国数学奥林匹克竞赛(CMO)第二题详解

引言 问题

求最大的实数

,使得对于任意

,都存在一个复数

满足

,并且

是如下方程的根:

分析

本题涉及韦达定理以及均值不等式。其中,三次方程的韦达定理可以描述为:方程

的三个复根

满足下列三个式子

其中 在这个基础上,借用均值不等式即可逼出满足题意的的最大值。下面给出本题的解答。

解答

由于对称性,不妨设

,否则可以对换

,而原方程保持不变。我们考察方程

的复根。

首先,我们断言上述方程必然有虚根,假设不然,则我们设它的三个实根为

,其中

由韦达定理知:

而由均值不等式,

从而

,即

,这与

相矛盾,从而上述方程必然有虚根。设其三个根为

,其中

我们记

,则由韦达定理知:

假设

,则由上面三个式子可知

,而由均值不等式,

,可得

,矛盾。从而

,即

,这意味着上述方程必然有一个根满足

,进而

是满足题意的一个值,由

的最大性可知

另一方面,令

,此时

观察这几个根可知

,综上,

点评

本题的一个关键在于观察到对换

不会改变题目中的方程,从而不妨添加一个条件

,而这个条件也是为了配合均值不等式的使用。本题难度偏大,需要一些观察和一些运气,耗费的时间较长。

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