求最大的实数
,使得对于任意,都存在一个复数满足,并且是如下方程的根: 分析本题涉及韦达定理以及均值不等式。其中,三次方程的韦达定理可以描述为:方程
的三个复根满足下列三个式子其中 在这个基础上,借用均值不等式即可逼出满足题意的的最大值。下面给出本题的解答。
解答由于对称性,不妨设
,否则可以对换,,而原方程保持不变。我们考察方程的复根。
首先,我们断言上述方程必然有虚根,假设不然,则我们设它的三个实根为
,其中由韦达定理知:而由均值不等式,
从而
,即,这与相矛盾,从而上述方程必然有虚根。设其三个根为,其中我们记,则由韦达定理知:假设
,则由上面三个式子可知,而由均值不等式,,,可得即
,矛盾。从而,即,这意味着上述方程必然有一个根满足,进而是满足题意的一个值,由的最大性可知另一方面,令
,此时观察这几个根可知,综上, 点评本题的一个关键在于观察到对换
,不会改变题目中的方程,从而不妨添加一个条件,而这个条件也是为了配合均值不等式的使用。本题难度偏大,需要一些观察和一些运气,耗费的时间较长。
有话要说...