无理数是可以理清的
我们知道，在语言学中，有一些词汇或成语，它的本义与它的实际情况并不相符，可以说是语言学上的一种“冤假错案”。但是，由于约定俗成的原因，人们还是坚持原来的使用方法，并没有刻意去更改它。例如，我们频繁使用的一些词汇和成语“心算”、“用心思考”、“计上心来”、“心机很重”，等等。具有现代科学知识的人谁都知道，思考问题、计算数字、谋划策略使用的是大脑，而不是心脏。但是由于这些词汇和成语，人们长期使用习惯了，谁都知道说的是什么意思，如果刻意去更改它，反而十分麻烦，不如大家约定俗成，将就使用，顺其自然算了。
数学中也有这种情况，无理数就是其中的一例。关于无理数和有理数，我们也无法考证从什么时候开始，人们为什么要给它们取上这么两个名字。无理数中“无理”的含义究竟是无法理清呢还是没有道理？有理数中“有理”的含义是否就是都理清了还是都有道理？如果说有理数是都理清了，并且都是有道理存在的，那么数学家们特别喜欢研究的素数也属于有理数，为什么直到今天也还没有找到一个通项式来表示？人们还要把寻找素数规律称之为歌德巴赫猜想，并把它奉之为数学皇冠上的明珠？
西方数学家在给无理数和有理数下定义时区别了这两种数，无理数是不能用两个正整数之比表示的数，而有理数是可以用两个正整数之比表示的数。这个定义到是把这两种数区分开来了。但是“无理”与“不能用两个正整数之比表示”和“有理”与“可以用两个正整数之比表示”并没有多少内涵上的联系。
其实，无论是无理数还是有理数，它们既然作为一种数存在，它们一定有自己存在的特点和规律，只不过它们的特点和规律还不被人们所发现，所认识。就像我们前面所说的歌德巴赫猜想——寻找素数的通项表达式（1+1的秘密）一样，至今，数学家们还在苦苦地寻找。
要说各种数的规律隐藏之深，无理数与有理数都各自有各自的规律未被人们揭示出来。相比之下，无理数的规律未被揭示的还要远远多于有理数，要不然人们为什么要称呼这种数“无理”呢？如果把无理数与有理数比喻为两座宝矿，那么有理数这座矿的宝石已经被人们发掘出了相当一部分；而无理数这座矿的开发还刚刚起步。换言之，无理数这座宝矿里还有许多许多数学上的明珠尚待人们去发掘。
在探索无理数这座宝矿问题上，由于笔者知识浅薄，我不知道史前还有没有其他人，我只知道著名数学家陈景润有过不少的收获。他在探索二次根式时，用辗转相除法，将二次根式演绎成无限循环连分数，从而揭开了无理数神秘的面纱，并由此证明无理数变化成另外一种形态以后是有规律可循的。下面我们举一个将
演绎成无限循环连分数的例子，看看陈景润是如何揭示无理数规律的。 其循环节为 10 位。（该例的表述请参见陈景润《初等数论》）笔者跟着陈景润的脚步，也去探索了一下无理数的宝矿，发现
不仅可以表示成无限循环连分数，还可以表示成四种不同的无限全等阶连分数： 上面四种表述，请参见《与黄金分割有关的级数和数列》一书中的第一章。这次探索，使我无比震撼，无理数领域真是一座巨大的宝矿，仅仅只探索了一个二次根式，就有这么丰富的内容，假如再深入进去，探索一下三次根式、四次根式、五次根式、······，不知道会出现什么样意想不到的结果！当然，我也深深知道，解开二次根式的密码已经够难的了，如果要解开三次根式、四次根式、五次根式以至更高次根式的密码，绝非易事，这正如无数的寻宝者一样，很不容易找到宝矿，但宝矿内机关重重，在探寻的过程中常常会碰得头破血流。
但这次探索，也使我意识到，无理数也是有规律可寻的，绝非无法理清，也决不是没有道理而存在的一种数。如果当初那位数学家在探讨它时认为它无法理清和没有道理就给它取名为无理数的话，由于大家现在已经约定俗成，那就继续称呼它为无理数好了。就像本来是用脑思考的问题，大家已经习惯称呼它为用心思考，那就继续称呼它用心思考吧！
二0一0年十一月二十四日随感
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