浅谈庞加莱猜想（附注释）

作 者：Delta

引 言

1904 年，在一篇名为《对位相分析学的第五次补充》的论文中，亨利·庞加莱(Henri Poincaré)提出了一个猜想：

在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。

这个猜想所表达的意思到底应该如何理解？难道这就是高深莫测的庞加莱猜想吗？为什么一个连数学符号语言都没有的、完全用自然语言描述的看似“显然”的猜想能困扰历代整整九十九年的数学家？

今天这篇文章就着重来解决这些问题。

正 文

这句话的意思并不难理解。我们先反过来，从一个三维球体 D3 内部的一条封闭曲线开始考虑。下面我们通过数学软件模拟出来这个情形：

其结果为：

现在我们让球内的曲线任意收缩，如图：

最终能收缩成一个点(1)。

不难看出对于球内的任意一条闭合曲线都是这样。也就是说，我们可以观察出来，在 D3 中，每一条封闭的曲线都能收缩到一点。而庞加莱猜想，则是把这条看起来显然的定理逆过来，他认为利用每一条能收缩到一点的曲线，能够推导出这些曲线所在的空间的性质。当然，到这里你可能有个问题：就算能够利用曲线的性质推导出它所在空间的性质，但为什么偏偏是球体？为什么不能是其它形体？

（讨论环节。）

其实不一定是球体，也可以是正方体、长方体，甚至可以是(2)：

好吧。

我承认心形体确实不大可能，除非设计这个空间的人是个可爱的女孩子。

撇开这些不谈，实际上，上面说到的这些形状，专业名词称之为流形(manifold)，通俗地来说被定义为：

局部具有欧几里得空间(Euclidean Space)性质的空间。

什么叫做欧几里得空间？

这样讲吧，一维的欧几里得空间就是（实）(3)直线，二维的就是平面，三维的就是立体， 跟我们日常生活中所认识的一样。

在此基础上我们来理解流形。先来一个最贴近我们的例子：现在人类基本上都知道地球近似是一个球体，也就是说它的表面是一个球面，那我们平常生活中出行能感受到这个球面的曲率吗？

“大三角形”虽然是曲边的，

但右下角非常小的三角形就和平面上一样了。

（原图来自维基百科）

显然不能，这是因为在局部上，球面是等价于平面的。这也是为什么古人认为地球是一个大圆盘，因为在不观察月食现象、做环球旅行或是其他实验的情况下，如果不能上太空，人类又无法直接从宇宙中直接观察到地球的整体，只能看到局部，那么自然无法判断地球的真实形体。这就叫做局部具有欧几里得空间性质，也因此我们认为地球的表面是一个二维流形，因为它局部具有平面的性质。

更“数学”一点来说，如果一个空间能够以某种方式投影成 n 维欧几里得空间，那么这个空间就被称作 n 维流形。真正的数学定义其实是这样的：

（还想进一步理解？下课来我办公室啊（不是）。）

而我们前面提到的球体、正方体或是心形体，它们都是三维流形。这里我们要说，它们在点集拓扑上(General Topology)都是等价的。这里的等价有两种概念，第一是同伦(Homotopy) 等价，第二是同胚(Homeomorphism)。也就是说，在拓扑学家(topologist)的世界观中，球体和你所说的正方体、长方体其实都是一样的，没有任何区别(4)。这就是为什么我们说“不一 定是球体”但却用球体来描述该猜想，因为它们在拓扑学里都是一样的。（这里没有压迫， 人人平等！）

先来说说什么是拓扑学，在这里我们引用北大尤承业教授在《基础拓扑学讲义》的引言中所写的内容：

“什么是拓扑学？”这是许多初学者都会提出的问题。拓扑学是一种几何学，它是研究几何图形的。但是拓扑学所研究的并不是大家熟悉的普通的几何性质，而是图形的一类特殊性质，即所谓“拓扑性质”。于是，要了解拓扑学就要知道什么是图形的拓扑性质。然而，尽管拓扑性质是图形的一种很基本的性质，它也具有很强的几何直观，却很难用简单通俗的语言来准确地描述。它的确切定义是用抽象的语言叙述的，这里还不能给出。……以上几个问题显示出几何图形的一类特别的几何性质，它们涉及到图形在整体结构上的特性，这就是“拓扑性质”。显然，它们与几何图形的大小、形状，以及所含线段的曲直等等都无关，也就不能用普通的几何方法来处理，需要有一种新的几何学来研究它们，这个新学科就是拓扑学。也有人形象地称它为橡皮几何学，因为它研究的性质在图形作弹性形变时是不会改变的。

由于篇幅有限，在该书提到的“几个问题”中我们仅选取 Euler 多面体定理进行详细的叙述，另外的两个问题分别是“七桥问题”和“地图着色问题（四色问题）(5)”，感兴趣的读者可以在网上查一查。

对于 Euler 多面体定理，相信大多数人在学习立体几何的时候一定早有耳闻。它说的是：

然而，既然我们需要的是在弹性形变时不会变化的性质，我们就得抛开多面体来考虑。现在把凸多面体放进一个大球体，并使球心在多面体内部。接着从球心做中心投影，把凸多面体的顶点映射成球面上的节点，棱映射成球面上的曲线（被称为枝）。这些节点和枝构成球面上的一个图，它把球面分割成 f 个面块，有 l 条枝和 v 个节点。如图：

这个图满足：

(1) 每条枝的端点是两个不同的节点；

(2) 不同的枝不会相交于内点；

(3) 每条枝不会自交。在这个意义上，欧拉定理可以推广为：

当球面变形时，可以看出 f , l 和 v 这三个数并不会变化，所以对变形的球面比如椭球面， 或是任何闭的单连通二维流形（这里的闭表示封闭）这个定理仍然成立。要注意，我们这里说的变形，是一种连续的过程，是不发生粘连或者撕裂的变形。在这 种变形下，你不可能把一个球面变成一个环面(6)：

否则你必须撕裂这个球面然后再以其他的形式粘连，或者直接把球面的两极下压至粘连再撕裂。这也就意味着，球面和环面之间的一些拓扑性质是不同的。比如上文提到的欧拉定理，如果在环面上存在一个连通的图，那么它必然满足：

不仅是 f - l v 的得数，还有其他许多不同的性质。比如，我们不难看出，环面比球面在中心多了一个洞，这意味着如果我们像开头那样在环面的内部（我们一般把它叫成甜甜圈）任意画一条闭合的曲线，这条曲线不一定能收缩成一个点(7)：

对于上面这种情况，不难看出这条曲线在收缩的时候会被中间的孔洞挡住，从而变成孔洞的形状而无法收缩成一个点。我们把这种情况叫做一维多连通（非一维单连通），把孔洞的个数叫做亏格(genus)。亏格也是一种拓扑性质。

球面显然是一个零亏格曲面，而环面则是一亏格。而对于亏格更大的曲面，比如(8)：

它们的 f - l v 是一个负数，我们把这个由曲面本身的性质决定的数叫做 Euler 数。

注意到，我们在上文对拓扑学的介绍中多次提到了一种连续的变形，这种连续的变形就 是我们在开始介绍拓扑学之前就已经提到的两种等价：同伦和同胚。这两种等价关系都不会 改变在上文提到的两个性质，因为亏格和 Euler 数（Euler 示性数）都是同伦不变量，而同伦 不变量一定是拓扑（同胚）不变量。

（讨论环节。）

中日关系是同伦不同胚的，中美关系是不同伦也不同胚的。

了解了这些概念之后，我们再来看庞加莱最初提出的猜想：

在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点，那么这个空间一定是 一个三维的圆球。

我们现在知道，这个圆球是拓扑意义下可以做同胚变换的“圆球”。这是正确的吗？我 们好像想象不出其他的情形，但这并不足以说明这个猜想是对的。实际上它是错的，因为它 没有考虑流形的边缘。

什么是流形的边缘？

让我们从大家最熟悉的开区间和闭区间开始讨论。事实上，开区间就是一个无边缘的一维流形，而闭区间就是一个带边缘的一维流形。在初高中，我们是怎么用通俗易懂的手段来判断开闭区间的呢？是看这个区间包不包含端点。这个端点就称作一维流形的一个边缘。同样的，如果我们把区间的带边缘问题整体提升一个维度，来研究二维流形，那么我们判断的根据就是这个二维流形包不包含“边界线”。

如图，虚线代表不含圆周：

显然，前者是无边缘的，后者是带边缘的。

在这里我们要说明两个问题。首先不能像开闭区间那样按流形是否带边缘称作开闭流形。事实上，开闭流形都是无边缘流形，区别是紧致化的问题。这个问题我们不谈。

显然，一个无边缘三维流形，不能等同于带边缘（球面）的三维球体，所以我们说这个猜想是错的。庞加莱在1905年发现了他叙述中的错误，并对其进行了修改：

任何与三维球面同伦的三维封闭流形必定同胚于三维球面。

或者说：

任何一个单连通的，闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。

这才是真正的庞加莱猜想。

我们刚刚才提过，二维球体（圆盘）的表面是一个一维球面（圆周），而三维球面实际 上是四维空间中的东西，它是平铺于四维球体上的一层没有四维“厚度”的膜。也就是说， 我们无法想象出三维球面（超球面）到底长什么样子。

不过，通过类比的方法、通过二维球面，我们可以想象、刻画或理解三维球面的可能性 质。在这里我们要介绍黎曼球面，它原本是黎曼(Riemann)在复分析中解释扩充复平面时引 入的一种球极投影。现在我们利用这种思路在实空间中将球面从球的顶极点 P 向平面射影：

这就把球面上除了极点 P 之外的所有点映射到了一个无穷大的零亏格平面上，而且这个 映射是双射且连续的（事实上其逆映射也连续）。接着黎曼定义平面上的无穷远处全部交于 一点，该点称为无穷远点，作为球面的 P 点映射到平面上得到的结果。在这个意义下，0 可 以作为除数，并且满足：

注意，在其他任何意义下该式都不成立。

也就是说，

同样的，三维球面也可以做类似的投影，它可以描述为无洞的三维空间（也就是三维单连通流形）加上一个无穷远点。但是，我们知道三维球面向三维空间的映射是双射且连续的， 并不知道其逆映射是否连续。也就是说，我们单知道三维球面可以被描述为三维单连通空间，不知道如果一个三维空间单连通，它是否一定能连续变化为三维球面。

这便是庞加莱猜想，他认为是这样的。

尾 声

最后我们来简单说说庞加莱猜想的证明历史。

前期做庞加莱猜想的大部分数学家，比如怀特海德(J.Whitehead)、哈肯(Haken)等人，他们给出的证明都是有缺陷的，但也为拓扑学的发展打下了坚实的基础。在这里我们只单独提一下赫里斯托斯·帕帕基里亚科普洛斯(Χρήστος Δημητρίου Παπακυριακόπουλος)，简称 Papa。他把自己的一生都献给了庞加莱猜想，为此放弃了教授的职位。在他胃癌晚期撒手人寰的前段时间，他还将自己证明庞加莱猜想的手稿交给他的朋友过目。然而仅仅翻了几页，他的朋友就发现了错误，但为了让Papa 安心离去，朋友并没有告诉他。可以说，Papa的一生是一场悲剧，但对于他自己而言却是喜剧，因为他能够将自己的生命奉献给自己热爱的事业。

中期对庞加莱猜想作出巨大贡献的，主要是瑟斯顿(10)(Thurston)，他给出了几何化猜想，认为宇宙一定由八种基本拓扑形状构成，并利用几何化猜想证明了庞加莱猜想。然而，用猜想证明猜想当然是不严谨的，但瑟斯顿以跟希尔伯特(Hilbert)类似的理由(11)放弃了对几何化猜想的继续证明。他的理由是“要是证明出来了，年轻人就没有奋斗的动力了”。

最终，在克雷(Clay)数学研究所刚刚把庞加莱猜想加入“千禧年问题”后的不到三年， 佩雷尔曼(Perelman)便完成了瑟斯顿“几何化猜想”的证明。2002 年 11 月 12 日，佩雷尔曼在 arXiv.org 上公布了自己的证明，并在之后半年中又发布了两篇系列论文。这三篇文章概述了庞加莱猜想以及更一般的几何化猜想的证明，从而实现了哈密顿(Hamilton)提出的纲领。

到这里对庞加莱猜想的介绍就基本结束了，但我们还剩最后一个问题没有解决：为什么一个连数学符号语言都没有的、完全用自然语言描述的看似“显然”的猜想能困扰历代整整九十九年的数学家？

这个看似直观显然的猜想为什么如此难以证明，事实上是一般人难以理解的。所以在这里，我们不妨用问题来解释问题：如何证明一条闭合曲线把平面分为两部分呢？

这看起来可比庞加莱猜想显然多了，然而它的证明也是十分困难的，需要以基本群为工具才能给出证明。它的学名是 Jordan 曲线定理，直到 1905 年才出现第一个正确的证明。用自然语言叙述，它可能是一目了然的；但用数学语言叙述：

看起来就没那么显然了。庞加莱猜想，也是类似的道理。所以，在科普的最后，我也要建议大家，不要认为表面显然的真实就是易懂的事实。不仅数学如此，人生，不也是一样的吗？

（ 全 文 完 ）

注 释

(1) 本文所使用的数学计算机辅助程序为 Mathematica。该收缩过程可以用 gif 图展示， 但是我的电脑在处理以下代码时失败了，有兴趣且电脑配置比较好的读者可以试着自己展示一下，代码见下：

(2) 这个秀儿一般的三维体是这样得到的：

(3) 除特别说明以外，本文讨论范围均在实空间内。

(4) 区别实际上是存在的，但是并不存在于 1935 年之前的大部分拓扑学家脑海中。一 直到惠特尼(H.Whitney)提出了微分流形的严格概念之后，微分拓扑才真正开始兴起，拓扑学 家才开始在原先同胚的基础上考虑“微分同胚”，即从连续过渡到光滑。比如，球体的表面 显然是处处光滑的，但正方体却存在八个不光滑的奇点；所以这两个几何体虽然同胚但并不微分同胚。除特别说明以外，本文讨论范围均不包含微分性质。

(5) 四色定理的证明其实和庞加莱猜想还有一定的渊源。沃夫冈·哈肯(Wolfgang Haken) 在证明庞加莱猜想的过程中发现了自己的一个致命错误，这次失败让 Haken 博士陷入了暴食 症，后来被人戏称为“庞加莱猜想综合症”。最终在 Haken 转向研究“四色问题”后该病不治而愈了，而他最终也利用机器证明给出了四色定理的答卷（尽管并不是所有人都满意）。

(6) 圆环面的绘图：

(7) 如下：

(8) 图源自百度百科对“亏格”的介绍。

(9) I = [0,1].

(10) 斯梅尔(Smale)也在庞加莱猜想方面作出了一定的贡献，但他所做的工作并不是证 明我们上文提到的常规的庞加莱猜想，而是证明了高维的、较简单的庞加莱猜想：

任何与 n 维球面同伦的 n 维封闭流形必定同胚于 n 维球面，其中 n ≥ 5。

为什么高维的庞加莱猜想还要更简单？这就牵扯到纽结理论了。高维的情形下闭合曲线 收缩的过程中不会打结，但三维中是会出现扭结的。

(11) 希尔伯特当年拒绝证明费马大定理(Fermat’s Last Theorem)的理由是：“这是一只会下金蛋的鹅，我为什么要杀掉它？”

作 者：Delta

APC编辑部科普组