《找次品问题》的求解方法
《找次品问题》的求解方法
湖南衡东 许岳飞
还是从比尔·盖茨与81个玻璃球的问题说开来吧。
（1）小比尔·盖茨的问题：这儿有81个玻璃球，其中有一个球比其他的球稍重，如果只能用天平来测量，至少要称多少次才能保证找出来呢？
（2）如果不知道次品玻璃球与标准球的轻重，同样只用天平来测量，至少要称多少次才能保证找出次品玻璃球来？
怎样用天平来测量次品？就是要用天平称量时的“平衡”与“不平衡”来判断研究对象的情况。“平衡”判明没次品；“不平衡”判明次品就在这里。本题要求最少的称量次数，显然还要找出一个解决问题的最优策略，也就是要让天平每称量一次能判断的研究对象个数最多，最终达到称量次数最少的目的。实际操作起来就是把研究对象怎样分组，分成多少组的问题。
怎样分组？有平均分（对于不能平均分的数量，让数量多的组多1个，少的组少1个），任意分两种分法。比较起来只有平均分才能让“平衡”与“不平衡”说明研究对象的情况（任意分时，天平两边数量不等，“平衡”已不可能，“不平衡”也不能判断出问题），所以选择平均分法。
分成多少组？有分成2组、3组、4组、5组等多种分法。因为天平有两个托盘，每称量一次能放上两组研究对象，最多能判断出3组的情况（既能判断出天平上两组的情况，还能判断出天平外一组的情况。若平衡，次品就在盘外那组中；若不平衡，盘外那组中就无次品），所以只有分成2组或3组才能使天平每称量一次包括研究对象的全部，其他组数达不到这个要求——舍弃。再比较2组分法、3组分法的优劣：把2组分法、3组分法上次称量判断出的问题组对象再分别2等分之、3等分之。可以得出下次称量时天平每边的对象数量，3组分法的远比2组分法的少。继续称量下去，显然，3组分法的称量次数要少，更符合最优策略。
综合起来，就是选择平均分成3组的分法。
用天平称量的方法找次品有什么规律？
因为采用的是三等分法，则每次称量都是把上次找出的问题组对象三等分之进行研究，且最后一次找出次品时，天平两边各只有1个研究对象，所以从天平两边各放1个研究对象开始逆推找规律。
天平称量法找次品统计表
次数 |
最多判断出研究对象的个数 |
1 |
3=31（1，1，1） |
2 |
3×3=9=32（3，3，3）（1，1，1） |
3 |
9×3=27=33（9，9，9）（3，3，3）（1，1，1） |
4 |
27×3=81=34（27，27，27）（9，9，9） （3，3，3）（1，1，1） |
|
|
一般地，用天平称量n次，能判断出研究对象的最多个数Y=3n。
上面研究的都是“最多”数量的情况，不满足“最多”条件的数量情况如何呢？比如4、12情况怎样？
先研究4：因为天平称量1次最多只能判断出3个，所以要再称量1次，一共2次才能有保证。[平衡2次：（2，1，1）→（1，1）。不平衡1次：（2，1，1）。]
再研究12：天平称量2次最多能判断出9个，所以也要再称1次，一共是3次才能有保证。[平衡3次：（4，4，4）→（2，1，1）→（1，1）。不平衡2次：（4，4，4）→（2，1，1）]
一般地，用天平称量法找次品，当研究对象的个数Y满足关系式3n-1＜Y≤3n时，最少要称量n次才能保证找出次品。
现在回头解答比尔·盖茨与81个玻璃球的问题。
问题（1）小比尔·盖茨的问题：这儿有81个玻璃球，其中有一个球比其他的球稍重，如果只能用天平来测量，至少要称多少次才能保证找出来呢？
因为81=34，所以最少要称4次才能保证找出次品。
问题（2）如果不知道次品玻璃球与标准球的轻重，同样只用天平来测量，至少要称多少次才能保证找出次品玻璃球来？
先测出次品玻璃球是重了还是轻了：
分组81÷3=27（27，27，27）
1次——任取两组过天平，有“平衡”与“不平衡”两种情况。
研究“平衡”情况既是“平衡”，就判断出次品在天平外那组中。
2次——任取已过天平一组与天平外那组同称，肯定不平衡。若原天平外那组重些，就判断出次品比标准球重，否则，次品就是比标准球轻。
研究“不平衡”情况既是“不平衡”，就判断出次品已在天平中，天平外那组是标准球。
2次——取较重的一组与天平外那组同称，有“平衡”、“不平衡”两种可能。若“平衡”就判断出次品球比标准球轻；若“不平衡”就判断出次品球比标准球重。
综合以上研究得出：最少称2次才能知道次品球在那组中，也才能知道次品球比标准球是重些还是轻些。此时，次品所在组有球27个。因为，27=33，所以最少再称3次才能保证找出次品球来。
一共是2+3=5（次）
例：若73个零件，其中有一个比其他的零件稍重，如果只能用天平来测量，至少要称多少次才能保证找出来呢？
解：因为33＜73≤34，所以最少要称4次才能保证找出次品。
[平衡4次：（25，24，24）（9，8，8）（3，3，3）（1，1，1）。不平衡4次：（25，24，24）（8，8，8）（3，3，2）（1，1，1）]
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