“标度律”——大自然的基本原理

人类普遍对蜘蛛这一类的'节肢动物’多少有些恐惧，尤其是想象一下'蜘蛛放大一百倍'的场景，简直不要太恐怖。

直到我学习了一个科学原理，从此无忧。

因为我知道，放大一百倍的蜘蛛，根本不可能存在，因为它必定会被自身的重量压倒！

这个科学原理，就是今天要与大家分享的——“标度律”（Scaling Law）。

标度律：一种本质性的思维方式

标度律不仅是一个科学定律，更是一种本质性的思维方式。

下面咱们就以“蜘蛛放大”的案例来快速计算一下。

假把蜘蛛等比例放大为原来的

倍，那么它的'体积'与“体重”就会变为原来的

倍；另一方面，腿的“横截面积”与“最大承重”会变为原来的

倍。

也就是说，“体重”比“腿的最大承重”增长得快，总会支撑不住，把腿压折。

你现在可以理解了，为什么大象的腰和腿在比例上那么粗，而蚂蚁那么细了吧。

动物不能按比例线性缩放

因为体积和重量是三维量，而横截面积是二维量。

这种朴素快捷的分析思路，就是典型的“标度思路”。

在所有科学中，均可以使用这种方法来分析问题，是一种最简捷的数学建模方法，将所有非本质性的因素统统忽略，因此也被称为“零阶模型”。

典型应用：大轮船更省燃料？

咱们用同样的思路，来分析另一个问题吧：

运送同一批货物，是用一支大货轮节省燃料，还是用多支小货轮节省燃料呢？

这个问题与前面如出一辙。

假如把轮船放大为原来的

倍，那么它的'体积'与“载重”就会变为原来的

倍；另一方面，船的“横截面积”与“水的阻力”会变为原来的

倍；而燃料的消耗主要取决于水的阻力。

设轮船长度为 L ，咱们可以把上面一段话写成数学公式，即：

故

可见，轮船越大，运送单位载重所需要的燃料就越少。（伊桑巴德，19世纪英国工程师）

这种现象在经济学中，被称为“规模经济”（Economies of scale），表示规模增大时，效能的提高。

scale，译为“规模”、“标度”、“尺度”、“缩放”均可。

进一步地，咱们来看——

一张涵盖所有物种的'神奇线图’

首先给大家看一张神奇的线图：把不同物种，以“体重”为横坐标，以“代谢率”为纵坐标，画在一个图中，图中所有动物物种都在一条直线上！

首先要解释一下，该图为“双对数图”，就是说X轴和Y轴都取了对数，这样就可以把不同尺度上的数据画在同一个图中了（注意观察坐标值）。

另外，何为代谢率？其实，代谢率就是生物的功率，也就是消耗能量的速率。比如，人的代谢率约为90瓦，跟一个灯泡差不多。从这个角度讲，生物本身是非常节约能量的。

相比而言，人的“社会代谢率”（包括非生物所需能量，如交通工具耗能）是很大的，估计人均1万瓦。

这张图上的直线，如果用公式表示出来，就是——

其中的“3/4”就是直线的斜率，这就是大名鼎鼎的“代谢标度律”，也称“克莱伯定律”。

代谢标度律，涵盖了令人惊讶的27个数量级，或许是宇宙中最持久、最系统化的标度法则了。——《规模：复杂世界的简单法则》杰弗里 · 韦斯特

如果看到这个公式没有什么感觉，咱们可以举个例子算一下：根据公式，大象的体重是老鼠的1万倍，但它的代谢率只老鼠的1000倍。

这就很有意思了，体重是1万倍的话，细胞数量也是1万倍呀；但是，总体的耗能却只有1000倍，这说明大象每个细胞的耗能只有老鼠的1/10！

要知道，代谢率是生物学的基本速率，它可以确定生物体几乎所有的生命节奏。

幂律

形如

的规律，都可称为“幂律”（Power Law）。

我们更为熟悉的，可能是

，这种规律称为“线性关系”（Linear Relation）。

在普通坐标系下，线性关系画成一条过原点的直线；而幂律关系则是一条曲线。

只有在双对数坐标系下，幂律关系才能画出一条直线，其斜率就等于公式中的指数。

普通坐标与双对数坐标下的 x^(3/4) 函数图

当指数 d<1 时，我们称之为“亚线性”（sublinear），因为它的曲线会越来越低于直线。

当指数 d>1 时，我们称之为“超线性”（superlinear），因为它的曲线会越来越高于直线；这种超线性关系，也就是我们说的“规模经济”，在经济学中也称为“规模收益递增”。

幂律曲线有一个有趣的特征，当你放大其中任意一个部分时，如果不看坐标，你是无法分辨出它是整条曲线的哪一部分，甚至无法分辨出它占整条曲线的比例，这种性质被称为“标度不变性”或“自相似性”，这是幂律的内在属性，同时也是我们后面要讲到的“分形”的内在属性。

线性思维陷阱

自然界中存在大量的是幂律关系；而人类的思维习惯却是线性的。

比如，在医学中，用药量与体重实际上应该是前面所讲的 3/4 幂律关系，而不是线性关系。

1962年，医学界普遍认为，药量与体重是一个简单的正比关系，因此规定了“每千克用药量”这样的标准。在做动物实验时，将对猫来说的安全剂量的药物，按体重比例注射给大象，结果大象在2小时内就死亡了。

这项研究是如此重要，以至于发表在了当年的Science上。

这就是“线性思维陷阱”，有些时候，是过于简单和粗糙，这就有可能带来严重的'误导性结论’。

这是非常需要注意的。

自然界的大道

除了“代谢标度律”——

当科学家扩大研究的范围时，发现有超过50种这样的标度律部分如下——

变量	对应指数
增长率	3/4
主动脉长度	1/4
基因组长度	1/4
树木高度	1/4
主动脉/树干	3/4
脑容量	3/4
大脑白质体积	5/4
大脑灰质体积	5/4
心率	–1/4
细胞中的线粒体密度	–1/4
黏膜扩散率	–1/4
进化速率	–1/4
寿命	1/4

此表给出的是“分数近似”；实际上，在数据拟合时，得到的指数一定都是小数。

其中负数表示相应的数量会随着规模的扩大而减少，而非增加。例如，随着体重的增长，心率会按照1/4幂律下降，如图——

再观察一下表格，令人吃惊的是，这些标度律对应的指数都接近1/4的整数倍！

那么，为什么是“4”？

揭开其神秘面纱之前，咱们先来准备一点关于“分形”的基础知识——

分形：自然之道

分形（Fractal），一个形状被分成数个部分后，每一部分都（至少近似地）是整体缩小后的形状，换言之，分形就是自相似图形。

不断地放大来看分形图形

分形是自然的数学，因为它可以描述太多大自然中的形状与现象了。

血管网络、树干树枝、海岸线，这些都是典型的分形形状。

在这个人工制品的世界中，我们不可避免地习惯于通过“欧几里得滤镜”观察世界；我们看到的，都是直线、曲线、平面、曲面这些理想化的元素。要想真正理解自然，就要具有分形思维。

笔者在学生时期用分形方法构造的含粗糙度的表面

分形维度

什么是维度？

我们知道，一条线段，是1维的，当它整体放大为2倍时，长度变为2倍（即

倍）。

一个正方形，是2维的，当其整体放大为2倍时，面积变为4倍（即

倍）。

一个正方体，是3维的，当其整体放大为2倍时，体积变为8倍（即

倍）。

这三条规律，如果把放大2倍改为放大3倍，那么就分别变为

。

所以，底数是缩放倍率，而指数即维数——

那么，如果是对于分形线段呢？

下图称为“康托尔三分点集”，一条线段，每次只要放大一看，发现它均分成三段，左、右两段有线，中间一段为空——

它的特殊之处就在于，当整体放大为3倍时，长度只变为原来的2倍。咱们按照上面的规律，假设维数为 d，列出方程——

得到，d ~ 0.63。也就是说，这条分形线段的维数为0.63，是一条“不足1维的线”。

那么，有没有超越1维的线呢？

有，请看“科赫线”（Koch curve）——

这种线每次放大为原来的3倍，而总长度却变成原来的4倍，所以——

这里稍微有点难考虑，因为这里的“放大”，是指“线度”上，在X方向上扩展。如果不好理解可参见下图——

计算求得，维数为 d ~ 1.26。

1维是线，2维是面，这个1.26维又是什么呢？

我们称之为“分形维数”，表征分形几何中的维度性质。

一条线的维数，有没有可能接近2，成为一个面呢？

有的，比如说“皮亚诺曲线”（Peano curve）——

曲线可以“完全布满平面”，当放大2倍时，发现长度放大4倍，所以，该曲线就是平面，该曲线的维数为1+1=2。

神奇数字 4 = 3+1

从上面的规律我们可以看到，当d维几何分形充满于d+1维空间时，它的维数即为d+1。

这么说，有没有能充满3维空间的结构呢？

远在天边，近在眼前；这种结构就藏在你的身体里，即“血管网络”——

肝脏的血管网络

所以，血管网络的维度为 3 + 1 = 4。

换言之，血管网络的体积正比于尺寸的4次幂——

如果把体积换成表面积呢？即，3维测度降1维变成2维测度，则维数也降1维——（这一点可自己回头用线段、正方形、正方体来验证）

把这两个公式中的尺寸消去，得到——

交换营养的速度（代谢率），就是取决于血管网络的表面积的；而血管体积就对应血液总量，因此——

这就是一种 4 以及 3/4 的由来。

总的来说，生物体虽然外表上看似活在3维空间，但是其内部的分形结构使发挥了最大效益——演化出4维的生物效能。

感兴趣的同学可参阅1999年的一篇Science文章：The fourth dimension of life: fractal geometry and allometric scaling of organisms。

讲到这里，我们不禁会想，像生物这样的系统，真的可以用数学物理来破解其复杂性吗？会诞生“生物学的牛顿定理”吗？

复杂性科学

有人请教史蒂芬·霍金，二十一世纪是物理学的世纪，还是生物学的世纪？

霍金道，“二十一世纪将是复杂性科学的世纪。”

复杂系统，由无数个体组成，并“涌现”（emerge）出一个集体特性，这种集体特性不在个体中，也无法轻易地通过个体特性来预测。

生命，就是一个最典型的复杂系统，它由无数个细胞组成，我们即使对于每个细胞都很了解，却依然无法预测生物体的特性。

亚里士多德说，“整体大于局部之和”，就是这个意思。

本世纪所面临的重大挑战之一，就是寻找生命的复杂性如何诞生于根本的简单性这样的基本原则。这就是“复杂性科学”。

当下，科学家们正在探究，生命系统的一般性粗粒度行为（Generic coarse-grained behavior）或许遵从某种可量化的普遍法则，虽然不会多么准确，但是也为我们理解真实系统提供了一个出发点或基线（baseline）。

生物学几乎肯定会成为21世纪的主导学科，但前提是，必须接受物理学文化，即定量、分析、预测，从而整合出一个新的范式，一个基于数学的基本原理而构建的理论框架。

本文观点主要来自于《规模》一书前4章，感兴趣的读者可以参阅。

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