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李代数——物理学中最重要工具之一，一个最简单的解释

李代数是物理学中最重要的工具之一。它们在经典力学、量子力学、甚至广义相对论中都很有用。它们是数学的一个子集，称为表示论，该理论使用称为群的工具来提供一种形式来描述物质和能量。关于李代数，普通大众对它知之甚少。所以今天，我将揭开这个重要概念的神秘面纱，讲述一些关于李代数的真相。
什么是李代数？ 李代数定义为一组矩阵，当对这组矩阵取幂时得到一个李群（ Lie Group）。大家可能不太了解“李群”，所以我首先要解释这个词。李群出现在涵盖连续变换的 李 理论主题中。连续变换是一种“平滑”的变换，即由无数个“小”变换组成。而离散（非连续）变换是由“有限”的步骤组成的，就像一个粒子消失，然后在某个地方又出现。可以变换的对象有很多，如形状，矢量等等。但我们对变换“群”特别感兴趣。 什么是群？ 当数学家说“群”的时候，它们并不是一般人所理解的那样，如一群羊、一群人、一群蚂蚁等中的“群”。数学中的 群 是满足一些约束条件的集合（对象的集合）。这里我不会列出所有的 约数 条件。简单说，群是一个带有二元运算的集合。
  • 加法下的整数集将是一群，因为我们可以将整数相加。
  • 除法下的整数集不是一个群，因为我们不能用每个整数除以其他整数（如1/0）。
只要为群中的所有元素定义了良好的运算，就可以将任何东西创建为群。我们要研究的一个特殊群是对称群。 作为李群的对称群 拿一个正方形，并将它向右（左）旋转一个较小的角度，比如23度。很容易判断出，它的位置发生了 变换 。现在假设把它旋转90度。这个正方形看起来 没有 跟之前没有什么不同。这就是所谓的对称性，即某些对象经过变换后看起来是一样的。如果把正方形旋转180度，就会得到另一种对称。360度的旋转也是一种对称（一种著名的对称）。重点是这个正方形证明了旋转的离散对称。具体来说，它只对n × 90度旋转对称，其中n是一个整数。我们可以说： 正方形=原来的正方形+ n(90)旋转 这意味着当正方形旋转90度n次时，看起来就像初始时的正方形。一个连续对称的例子是圆。不管我们把圆旋转到什么角度，它看起来都是一样的。我们可以说： 圆=原来的圆+ d旋转 其中d是任意角度。让我们把G(d)表示为某个特定的圆构型。我们可以写出任意圆的构型：

其中I是原始位置，d是某个角度。例如，旋转90度的圆是G(90) = I + 90。但是如果用90除以3会得到怎样的旋转？ “30度的旋转”，你可能会回答。

为了实现90度的旋转，要做3次30度 旋转 ：

但是假设从旋转9度开始。要旋转多少次才能旋转90度？你可能会说，10次，因为G(90) = (I + 90/10)(I + 90/10)… 但是假设从101/1000度旋转开始，要旋转多少次才能得到90度的旋转？要点是，G(90) = (I + 90/n)乘以自身n次，因为(90/n) x n = 90。但没有什么能阻止n越来越大。当n→∞时会怎样？90/n变得无限小，所以我们需要把它乘以同样的东西无限次！也就是：

你们可能觉得这个公式很眼熟。它是：

其中e是欧拉数。我们可以说，起始点I围绕角d旋转的任意度数都是G(d) = e^d。我们找到了一种解释e^d的新方法。如果我们想只允许有“特定的”旋转（离散对称），那么就需要将其调整为G(d)=e^dX，其中X是一组特定的数字。我们说X是G(d)的生成函数。旋转下的圆的集合实际上形成了一个群，称为对称群，G(d)只是这个群中的一个元素。一个元素可以写成e^dX的群叫作李群。李代数就是X的集合生成G群。

还有很多东西要讲。我们甚至还没有讨论物理上的应用。不过不要担心，我将为这篇文章写一篇后续文章，讨论这个看似抽象的数学在更具体的事情上的应用。

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