数学为何能走上科学道路？康德的数学哲学观
康德（Immanuel Kant）在近代哲学上恰似一个处于贮水池地位的人。可以这样说，康德以前的哲学皆流向康德，而康德以后的哲学又是从康德这里流出。对于数学哲学来说，情况亦是如此。比如，作为直觉主义的奠基人，布劳威尔就把康德当作先驱∶
在康德的哲学中，我们找到了一种目前几乎已被彻底抛弃的直觉主义的古老形式。
康德的哲学思想深受牛顿的自然科学影响，从而从唯理论转向了经验论。直到休谟怀疑论的出现才打破了他"教条主义的迷梦"。对休谟理论的完全接受就意味着他不得不承认因果性只能出自于习惯。这样，自然科学的普遍性和必然性就有可能失去根基，因而崇拜牛顿自然科学的康德是断然不会完全接受休谟相关理论的。这时，先前他所持有的唯理论倒给了他解决这一理论困难的重要启示。
为了建立起自然科学普遍性和必然性的根基，并参照自然科学建立起科学的形而上学，康德选择把唯理论和经验论有机结合起来。他这方面的文献包括了《纯粹理性批判》、《实践理性批判》、《判断力批判》等，而对数学哲学思想的论述主要出现在《纯粹理性批判》里。其中，康德探讨了一个重要问题，即“数学为何能走上科学道路？”。他相信对该问题的解答会对如何建立起科学的形而上学有所启迪。最终，他把其原因归结为∶数学知识都是先天综合判断（因而，科学的形而上学知识也必须是先天综合判断）：
不难指出，在人类的知识中会有这样一些必然的和在严格意义上普遍地、因而纯粹的先天判断。如果想从科学中举出一个例子，那么我们只需把目光投向一切数学命题。而且，数学的判断全部都是综合的。
现在就让我们来看看什么样的判断才是先天综合判断。康德首先区分了“分析判断”与“综合判断”∶
……要么是谓词B属于主词A，是（隐蔽的）包含在A这个概念中的东西，要么是B完全外在于概念A，虽然它与概念A有关联。在前一种情况下我把这判断叫做分析的，在第二种情况下则称为综合的。
康德又这样定义了“先天判断”∶
所以我们在下面将把先天的知识理解为并非不依赖于这个那个经验，而是完全不依赖于任何经验所发生的知识。而先天判断之外的判断就属于“后天判断”。
既是先天判断又是综合判断的判断就是“先天综合判断”。它兼具这两种判断的本质特征∶一方面，在先天综合判断中，谓词概念不包含在主词概念里。因此，这种判断就能对原有知识进行扩充而不同于只有解释作用的分析判断，后者只能把主词概念中已有的内容明确地显示出来；另一方面，先天综合判断中主词概念和谓词概念的相互结合是具有先天性的，所以它就不同于依赖于经验的后天判断，后者永远不能排除遇到反例的可能，即使至今还没有遇到。另外，康德把“先天性”等同于“必然性”和“普遍性”，因为“…必然性和严格普遍性就是一种先天知识的可靠标志，而两者也是不可分割的相互从属的。”
康德主要探讨的数学分支是几何学。他是这样定义这门学科的：
几何学是综合地却又是先天地规定空间属性的一门科学。
关于空间，康德有以下论述∶
空间不是什么从外部经验中抽引出来的经验性概念。因为要使某些感觉与外在于我的某物发生关系（也就是与空间中不同于我所在的另一地点中的某物发生关系），并且要使我能够把它们表象为相互外在，相互并列，因而不只是各不相同，而且是在不同的地点，这就必须已经有空间表象作基础了。因此空间表象不能从外部现象的关系中由经验借来，相反，这种外部经验本身只有通过上述表象才是可能的。
由此可见，任何关于外界的经验知识里都包含了作为“质料”的后天成分和作为“形式”的先天成分，其中的先天成分首先就包括了空间。一切关于外界的经验知识都是先天成分和后天成分的有机复合，所以空间就成为这种知识可能性的必要条件了。
人的认识能力可分为感性、知性和理性。由于认识到空间是人类最基本的认识之一，所以认识到它所凭借的认识能力一定不是最高级的理性。那么，该能力是感性还是知性呢？通过感性所产生的是特殊、具体的直观，而通过知性所产生的则是普遍、抽象的概念。众所周知，我们只有先认识到诸多个体，才能通过抽象形成代表这些个体共性的概念。那么，如果空间是概念的话，我们就必须先认识到诸多作为个体的空间。然而，康德却认为任何个体的空间都是整个空间的部分，并且它们也不能“先行于”那唯一的无所不包的空间而被设想。因此，空间不可能是概念，而是一种直观，即关于空间的“纯直观”，所以认识到它的能力就是感性。
虽然从上面的论述可知，为了获取对空间的认识就必须先有一次外部经验，但空间的先天性又使得我们以后不再需要通过外部经验就能获得更多关于空间属性的知识，即几何知识。这就显示出了几何知识的先天性。
另一方面，如果只有对整个空间的纯直观，那么我们就只能知道空间是无限的、连续的等极少几个属性。为了获取更多几何知识，我们就必须通过在空间中进行“构造”，例如进行“延长”、“分割”等行动限制出空间的部分作为对象，例如用三条直线限制出一个三角形。这就显示出了几何学知识的综合性。
反之，我们若给一位哲学家一个三角形的概念，并让他按照自己的方式去发现三角形的内角之和可能会与直角有什么关系。他现在只有在三条直线内所围成的一个图形的概念，以及在这个图形上的三个角的概念。现在，不论他对这个概念沉思多久，他也不会得出任何新的东西。他可以分解直线的概念，或是一个角的概念，或是“3”这个数的概念，并使之变得清晰，但不能想到在这个概念中根本没有的其他属性。
该哲学家显然不可能得出“三角形内角和是180度”这一结论。况且，通过概念分析所得到的判断都是普遍、抽象的，而几何判断中的各种对象却是整个空间或在其中限制出来的部分，因而这种判断必定都是特殊、具体的。
逻辑实证主义者认为“三角形内角和等于180度”可以改写为“如果一个形状是三角形，并且它处于欧氏空间，那么它的内角和是180度”，这样它就变分析判断了，并且欧氏空间也可以用公理系统给出。康德却认为这个所谓的“分析判断”本质上不是分析判断，因为如果没有无穷倒退的话，它最终还是要建立在一个或几个综合判断之上的。况且，欧氏几何的一致性还悬而未决。
随着非欧几何的发展，康德的数学哲学，尤其是几何观，很快就被质疑。就连把康德作为直觉主义先驱的布劳威尔也认为∶
但是对康德理论的最严重的打击是非欧几何的发现，这是从一组公理发展而来的一个一致性理论，这组公理与初等几何的不同之处仅在于把平行公理换成它的否定。
如果可以证明非欧几何具有一致性，那么人们也就完全可以设想非欧几何空间了。这样，欧氏几何空间就不再拥有绝对意义上的先天性了。出于欧氏几何的广泛应用，我们或许可以认为它在可观测的世界里仍然具有相对的先天性。然而，布劳威尔认为∶
通常用初等几何的语言描述的现象，可以用非欧几何的语言同样精确地描述，只是往往描述得不大紧凑而已…不仅认为我们的经验空间具有初等几何的性质是不可能的，而且要求那种对我们的经验空间为真的几何学也是毫无意义的。诚然，初等几何比任何其他几何学更适合于描述刚体的运动学规律，从而也适合描述大量自然现象。但是只要耐心人们就可以制造出那样的对象，对于它们来说用非欧几何比用欧氏几何更容易解释其运动学。
洛伦茨变换就是一例。这一观点也被之后的广义相对论所佐证。
另外一个使得康德的数学哲学很快被质疑的原因是逻辑学的发展。康德的数学哲学是以古老的亚里士多德逻辑为基础的。他在《逻辑学讲义》中说∶
从亚里士多德时代以来，逻辑在内容方面就收获不多，而就其性质来说，逻辑也不能再增加什么内容。但是它在严密、确定和明晰方面确有所得。只有少数科学能够保持情况固定，不再改变。逻辑和形而上学就属于这类科学。亚里士多德没有漏掉一个知性要素；我们在其中所作的，只是使之更加严密、更加系统和有秩序。
然而，亚里士多德的逻辑本身就是有局限性的。由于它建立于自然语言之上，因而看上去极其类似的主谓式语句可能就对应于不同的逻辑形式。比如，"男人是人”、“柏拉图是人”和“柏拉图是亚里士多德的老师”就分别对应于不同的逻辑形式。另外，亚里士多德逻辑也处理不了关系判断等判断。
按照康德对分析判断和综合判断的区分，我们或许可以把判断"7+5=12"说成是综合判断，因为“12”的概念不包含“7+5”的概念并且“7+5”的概念也不包含“12”的概念。这是因为人们或许只有“12”的概念而没有“7+5”的概念的情况，比如儿童会数数但不会做加法。反过来，人们也可能只有“7+5”的概念而没有“12”的概念，即他们没有大数字的概念。据记载∶ 洛克就知道一个原始部落，其中的人只能从1数到10，10以上就都是"多"。这些人也能做这样的加法∶
7+1=8
7+2=9
7+3=10
7+4=多
7+5=多
等等。
以上引用的例子似乎证明了康德对于“分析判断”定义是正确的。但我们可以反驳说，康德仅仅把分析应用于判断的主词概念，而没有应用于谓词概念，而人们是可以同时分析主词概念和谓词概念的，然后看看它们是否相同。莱布尼茨的例子可以说明这一点∶
逻辑规则∶
（i）a=a
（ii）如果b=c，那么 a+b=a+c且b+a=c+a
定义∶2=1+1；3=2+1；4=3+1
既然，概念“2+2”和“4”都能根据概念“1”和“+1”来分析，那么我们就能得到这两个概念的相等。可见，康德对于“分析判断”的定义过于简单了。
康德的数学哲学调和了唯理论和经验论，解释了数学在物理世界的可应用性和它的必然性。作为唯理论者代表，斯宾诺莎显然非常重视数学。他甚至按《几何原本》的形式来写作《几何伦理学》。唯理论者可以继承柏拉图的观点去解释数学的必然性。但由于数学世界和物理世界的相互分离，唯理论者显然无法解释数学对于物理世界的可应用性。经验论可以继承了亚里士多德的某些基本观点，认为“数学家间接地研究可观察的物理对象之间的物理性质”。
但他们却无法解释数学为何具有必然性。康德对数学在物理世界中的可应用性的解释于类似于经验论，但也有明显的不同之处。以几何学为例，除了对整个空间及极少几个基本性质的认识需要一次感觉经验外，其它的认识都是由在空间中进行的构造所产生的。这就是几何学的先天性质。
为了解释数学必然性，康德所采取的策略是把必然性等同于先天性，但科学的发展告诉我们康德所崇尚的欧氏几何的先天性已经受到了广泛的质疑，而且这种策略本身也是有问题的。如果等同于“先天性”的“必然性”意味着作为纯直观的空间必然导致欧氏几何，那么就不对了。康德的空间作为纯直观只有连续性和无限性这两个本质属性，而符合连续性和无限性的空间根本不止欧氏几何空间一个。欧氏几何空间还有别的特殊规定（比如平行公理），而这种规定并没有必然性的。
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