【模型研究】极致经典：最值系列之辅助圆

最值问题的必要条件是至少有一个动点，因为是动态问题，所以才会有最值．在将军饮马问题中，折点P就是那个必须存在的动点．并且它的运动轨迹是一条直线，解题策略就是作端点关于折点所在直线的对称即可．

当然，动点的运动轨迹是可以变的，比如P点轨迹也可以是一个圆，就有了第二类最值问题——辅助圆．

在这类题目中，题目很少直接告诉我们动点轨迹是个圆，也很少把这个圆画出来，因此，结合题目给的条件，分析出动点的轨迹图形，将是我们面临的最大的问题．

若已经确定了动点的轨迹圆，接下来求最最值的问题就会变得简单了，比如：如下图，A为圆外一点，在圆上找一点P使得PA最小．

已知圆轨迹类

【2017四川德阳】

如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA=OB，∠APB=90°，直线l不经过点C，则AB的最小值为________．

【分析】连接OP，根据△APB为直角三角形且O是斜边AB中点，可得OP是AB的一半，若AB最小，则OP最小即可．

连接OC，与圆C交点即为所求点P，此时OP最小，AB也取到最小值．

由定义构造辅助圆

圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．

构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是以定点为圆心、定值为半径的圆或圆弧．

【2014成都中考】

如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN，连接A'C，则A'C长度的最小值是________．

【分析】考虑△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN，可得MA'=MA=1，所以A'轨迹是以M点为圆心，MA为半径的圆弧．

连接CM，与圆的交点即为所求的A'，此时A'C的值最小．

构造直角△MHC，勾股定理求CM，再减去A'M即可．

【2016淮安中考】

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是_______．

【分析】考虑到将△FCE沿EF翻折得到△FPE，可得P点轨迹是以F点为圆心，FC为半径的圆弧．

过F点作FH⊥AB，与圆的交点即为所求P点，此时点P到AB的距离最小．由相似先求FH，再减去FP，即可得到PH．

【2019扬州中考】

如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B'．当PB=6时，在直线l变化过程中，求△ACB'面积的最大值．

【分析】考虑l是经过点P的直线，且△ABC沿直线l折叠，所以B'轨迹是以点P为圆心，PB为半径的圆弧．

考虑△ACB'面积最大，因为AC是定值，只需B'到AC距离最大即可．过P作作PH⊥AC交AC于H点，与圆的交点即为所求B'点，先求HB'，再求面积．

【2018相城区一模】

如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点，AE=2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF、PD，则PF+PD的最小值是_________．

【分析】F点轨迹是以E点为圆心，EA为半径的圆，作点D关于BC对称点D'，连接PD'，PF+PD化为PF+PD'．

连接ED'，与圆的交点为所求F点，与BC交点为所求P点，勾股定理先求ED',再减去EF即可．

上面我们了解了根据圆的定义来构造辅助圆，本文介绍另外两种方式：

1、定边对直角；

2、定边对定角．

01 定边对直角

【知识回顾】直径所对的圆周角是直角．

【构造思路】一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．

【图形释义】

若AB是一条定线段，且∠APB=90°，则P点轨迹是以AB为直径的圆．

【解题关键】挖掘直角，确定定边．

例题解析

已知正方形ABCD边长为2，E、F分别是BC、CD上的动点，且满足BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则PC的最小值为_________．

【分析】由于E、F是动点，故P点也是动点，因而存在PC最小值这样的问题，那P点轨迹如何确定？

考虑BE=CF，易证AE⊥BF，即在运动过程中，∠APB=90°，故P点轨迹是以AB为直径的圆．

连接OC，与圆的交点即为P点，通过勾股定理可求OC，再减去OP即可求出PC长度．

动点轨迹通常“非直即圆”，分析动点形成原理，寻找与动点相关定边与定角．

2013湖北武汉

如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形边长为2，则线段DH长度的最小值是________．　

【分析】根据条件可知：∠DAG=∠DCG=∠ABE，易证AG⊥BE，即∠AHB=90°，

所以H点轨迹是以AB为直径的圆弧

当D、H、O共线时，DH取到最小值，勾股定理先求OD，再减去OH即可．

2016安徽中考

如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值是______．

【分析】∵∠PBC+∠PBA=90°，∠PBC=∠PAB，∴∠PAB+∠PBA=90°，∴∠APB=90°，

∴P点轨迹是以AB为直径的圆弧．

当O、P、C共线时，CP取到最小值，勾股定理先求OC，再减去OP即可．

确定定边

如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB=5，AC=4．D是弧BC上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为_______．

【分析】E是动点，E点由点C向AD作垂线得来，∠AEC=90°，且AC是一条定线段，所以E点轨迹是以AC为直径的圆弧．

当B、E、M共线时，BE取到最小值．连接BC，勾股定理求BM，再减去EM即可．

挖掘直角，确定定边

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为________．

【分析】考虑到E点有连接BD与圆O相交所得，所以可连接CE，则CE⊥BD，考虑到CD边是变化的，可取BC边为定边．

取BC中点M，E点轨迹是以M为圆心，MB为半径作圆弧．

连接AM，与圆M的交点为所求E点，此时AE值最小，勾股定理先求AM，再减去EM即可．

2019苏州园区一模

如图，正方形ABCD的边长为4，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为______．

【分析】首先考虑整个问题中的不变量，仅有AE=CF，BG⊥EF，但∠BGE所对的BE边是不确定的．

重点放在AE=CF，可得EF必过正方形中心O点，连接BD，与EF交点即为O点．

∠BGO为直角且BO边为定直线，故G点轨迹是以BO为直径的圆．

记BO中点为M点，当A、G、M共线时，AG取到最小值，利用Rt△AOM勾股定理先求AM，再减去GM即可．　

辅助圆+将军饮马

如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为________．

【分析】∠AFB=90°且AB是定线段，故F点轨迹是以AB中点O为圆心、AB为直径的圆．

考虑PC+PF是折线段，作点C关于AD的对称点C’，化PC+PF为PC’+PF，当C’、P、F、O共线时，取到最小值．

辅助圆+相切

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4，D是BC上一动点，CE⊥AD于E，EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是_________．

【分析】∠AEC=90°且AC为定值，故E点轨迹是以AC为直径的圆弧．

考虑EF⊥AB，且E点在圆上，故当EF与圆相切的时候，CF取到最大值．

连接OF，易证△OCF≌△OEF，∠COF=30°，故CF可求．

02 定边对定角

在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．定边必不可少，而直角则可一般为定角．例如，AB为定值，∠P为定角，则A点轨迹是一个圆．

当然，∠P度数也是特殊角，比如30°、45°、60°、120°，下分别作对应的轨迹圆．

若∠P=30°，以AB为边，同侧构造等边三角形AOB，O即为圆心．

若∠P=45°，以AB为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB，O即为圆心．

若∠P=60°，以AB为底，同侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心．

若∠P=120°，以AB为底，异侧为边构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心．

当定边所对定角为β的时候，以定边为弦，2β为圆心角构造圆．

例题解析

如图，等边△ABC边长为2，E、F分别是BC、CA上两个动点，且BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则CP的最小值为________．

【分析】由BE=CF可推得△ABE≌△BCF，所以∠APF=60°，但∠APF所对的边AF是变化的．

所以考虑∠APB=120°，其对边AB是定值．

所以如图所示，P点轨迹是以点O为圆心的圆弧．（构造OA=OB且∠AOB=120°）

当O、P、C共线时，可得CP的最小值，利用Rt△OBC勾股定理求得OC，再减去OP即可．

2017山东威海

如图，△ABC为等边三角形，AB=2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为_________．

【分析】由∠PAB=∠ACP，可得∠APC=120°，后同上例题．

2019江苏南京

在△ABC中，AB=4，∠C=60°，∠A>∠B，则BC的长的取值范围是_______．

【分析】先作图，如下

条件不多，但已经很明显，AB是定值，∠C=60°，即定边对定角．故点C的轨迹是以点O为圆心的圆弧．（作AO=BO且∠AOB=120°）

题意要求∠A>∠B，即BC>AC，故点C的轨迹如下图．

当BC为直径时，BC取到最大值，

考虑∠A为△ABC中最大角，故BC为最长边，BC>AB=4．无最小值．

2019湖北武汉

如图，AB是圆O的直径，M、N是弧AB（异于A、B）上两点，C是弧MN上一动点，∠ACB的角平分线交圆O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E，当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是_______．

【分析】分别考虑C、E两点的轨迹，C点轨迹上是弧MCN，其对应圆心角为∠MON，半径为OM（或ON）．

再考虑E点轨迹，考虑到CE、AE都是角平分线，所以连接BE，BE平分∠ABC，可得：∠AEB=135°．

考虑到∠AEB是定角，其对边AB是定线段，根据定边对定角，所以E点轨迹是个圆，考虑到∠ADB=90°，所以D点即为圆心，DA为半径．