初中数学，用四点共圆的性质可以使复杂的题目变得简单易解
虽然在初中数学新课程标准下，四点共圆不再做要求，但是我们在解题的过程中如果灵活的运用四点共圆的性质，可以使复杂的题目变得简单易解。况且在高中阶段，高中老师会默认你在初中已经学会了这个知识，遇到了不会再进行过多讲解，所以无论从哪方面讲，我们都应该掌握好四点共圆的性质。
数学接龙
一、圆的内接四边形的性质：
如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为'四点共圆'。
1）圆内接四边形的对角互补：∠BAD+∠DCB=180°，∠ABC+∠ADC=180°；
2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角：∠CBE=∠ADC；
3）圆心角的度数等于所对弧的圆周角的度数的两倍：∠AOB=2∠ACB=2∠ADB；
4）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等，即同弧所对的圆周角相等；
5）圆内接四边形对应三角形相似：△ABP∽△DCP（三个内角对应相等）
6）相交弦定理：AP×CP=BP×DP（例5）
四点共圆
而利用圆的内接四边形解题，又分为两种情形：一是直接利用圆的内接四边形的性质解题；二是构造共圆，然后再利用圆的的知识和性质解题。
二、直接利用圆的内接四边形的性质解题
例1、如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝138°，则它的一个外角∠DCE等于( )
A．69° B．42° C．48° D．38°
答案：选A （圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角）
例2、(·凉山中考)如图，已知四边形ABCD内接于半径为4的⊙O中，且∠C＝2∠A，则BD＝________．
例3、如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，则∠B＋∠E＝（ ）
解：∵四边形ABCD与四边形ACDE是圆的两个内接四边形
∴∠B+∠ADC = 180°
∠E+∠ACD = 180°（圆内接四边形的对角互补）
∠B+∠E+∠ADC +∠ACD = 360°
而在△ACD中，∠ADC+∠CDA+∠ACD = 180°
∴∠ADC+∠ACD = 180°-35°= 145°
∴ ∠B＋∠E＝360°-145°=215°
例4、(2019·台州)如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE.若∠ABC＝64°，则∠BAE的度数为 ．
解：∵∠ABC＝64°
∴∠ADC＝116° （圆内接四边形的对角互补）
又点D关于AC的对称点E在边BC上
∴∠AEC＝116°
∴∠BAE = ∠AEC -∠ABC = 116°-64°=52°
例5、ABCD为圆的内接四边形，且其对角线AC与BD相交于点P，请证明相交弦定理：AP×CP=BP×DP
证明：∵共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等
∴AB边所对的∠BCA = ∠BDA
同理CD边所对的∠CBD = ∠CAD
∴△BCP ∽△ADP
∴AP×CP=BP×DP
三、构造共圆，然后再利用圆的的知识和性质解题
例6、已知：如图，O 是半圆的圆心，C、E 是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO． 求证：CD=GF
证明：作 GH⊥AB，连接 EO．
∵EF⊥AB，EG⊥CO，
∴∠EFO=∠EGO=90°，
∴G、O、F、E 四点共圆， （四边形的对角互补，那么四点共圆）
所以∠GFH=∠OEG， （共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等）
又∵∠GHF=∠EGO，
∴△GHF∽△OGE，
∵CD⊥AB，GH⊥AB，
∵GH∥CD，
∴EO/GF=GO/GH=CO/CD
又∵CO=EO，
∴CD=GF．
例7、设 P 是平行四边形 ABCD 内部的一点，且∠PBA=∠PDA．
求证：∠PAB=∠PCB．
证明：作过 P 点平行于 AD 的直线，并选一点 E，使 PE=AD=BC，
∵AD∥EP，AD∥BC．
∴四边形 AEPD 是平行四边形，四边形 PEBC 是平行四边形，
∴AE∥DP，BE∥PC，
∴∠ABP=∠ADP=∠AEP，
∴AEBP 共圆（一边所对两角相等）．
∴∠BAP=∠BEP=∠BCP，
∴∠PAB=∠PCB
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