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初中数学，用四点共圆的性质可以使复杂的题目变得简单易解

虽然在初中数学新课程标准下，四点共圆不再做要求，但是我们在解题的过程中如果灵活的运用四点共圆的性质，可以使复杂的题目变得简单易解。况且在高中阶段，高中老师会默认你在初中已经学会了这个知识，遇到了不会再进行过多讲解，所以无论从哪方面讲，我们都应该掌握好四点共圆的性质。

数学接龙

一、圆的内接四边形的性质：

如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为'四点共圆'。

1）圆内接四边形的对角互补：∠BAD+∠DCB=180°，∠ABC+∠ADC=180°；

2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角：∠CBE=∠ADC；

3）圆心角的度数等于所对弧的圆周角的度数的两倍：∠AOB=2∠ACB=2∠ADB；

4）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等，即同弧所对的圆周角相等；

5）圆内接四边形对应三角形相似：△ABP∽△DCP（三个内角对应相等）

6）相交弦定理：AP×CP=BP×DP（例5）

四点共圆

而利用圆的内接四边形解题，又分为两种情形：一是直接利用圆的内接四边形的性质解题；二是构造共圆，然后再利用圆的的知识和性质解题。

二、直接利用圆的内接四边形的性质解题

例1、如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝138°，则它的一个外角∠DCE等于(　　)

A．69° B．42° C．48° D．38°

答案：选A （圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角）

例2、(·凉山中考)如图，已知四边形ABCD内接于半径为4的⊙O中，且∠C＝2∠A，则BD＝________．

例3、如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，则∠B＋∠E＝（ ）

解：∵四边形ABCD与四边形ACDE是圆的两个内接四边形

∴∠B+∠ADC = 180°

∠E+∠ACD = 180°（圆内接四边形的对角互补）

∠B+∠E+∠ADC +∠ACD = 360°

而在△ACD中，∠ADC+∠CDA+∠ACD = 180°

∴∠ADC+∠ACD = 180°-35°= 145°

∴ ∠B＋∠E＝360°-145°=215°

例4、(2019·台州)如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE.若∠ABC＝64°，则∠BAE的度数为 ．

解：∵∠ABC＝64°

∴∠ADC＝116° （圆内接四边形的对角互补）

又点D关于AC的对称点E在边BC上

∴∠AEC＝116°

∴∠BAE = ∠AEC -∠ABC = 116°-64°=52°

例5、ABCD为圆的内接四边形，且其对角线AC与BD相交于点P，请证明相交弦定理：AP×CP=BP×DP

证明：∵共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等

∴AB边所对的∠BCA = ∠BDA

同理CD边所对的∠CBD = ∠CAD

∴△BCP ∽△ADP

∴AP×CP=BP×DP

三、构造共圆，然后再利用圆的的知识和性质解题

例6、已知：如图，O 是半圆的圆心，C、E 是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO． 求证：CD=GF

证明：作 GH⊥AB，连接 EO．

∵EF⊥AB，EG⊥CO，

∴∠EFO=∠EGO=90°，

∴G、O、F、E 四点共圆， （四边形的对角互补，那么四点共圆）

所以∠GFH=∠OEG， （共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等）

又∵∠GHF=∠EGO，

∴△GHF∽△OGE，

∵CD⊥AB，GH⊥AB，

∵GH∥CD，

∴EO/GF=GO/GH=CO/CD

又∵CO=EO，

∴CD=GF．

例7、设 P 是平行四边形 ABCD 内部的一点，且∠PBA=∠PDA．

求证：∠PAB=∠PCB．

证明：作过 P 点平行于 AD 的直线，并选一点 E，使 PE=AD=BC，

∵AD∥EP，AD∥BC．

∴四边形 AEPD 是平行四边形，四边形 PEBC 是平行四边形，

∴AE∥DP，BE∥PC，

∴∠ABP=∠ADP=∠AEP，

∴AEBP 共圆（一边所对两角相等）．

∴∠BAP=∠BEP=∠BCP，

∴∠PAB=∠PCB

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