初中数学必须掌握的9种证垂直的方法（下篇：数学方法技巧归纳）
初中数学必须掌握的9种证明垂直的方法（下篇：数学方法技巧归纳）
证明两直线垂直的方法有哪些？
今天我们按照《初中几何，掌握了这套学习方法，数学会得心应手》中的“具体方法归纳法”进行归纳总结如下：1、利用直角三角形中两锐角之和为90°
2、利用全等三角形
勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。
初中数学1
3、利用勾股定理的逆定理证明
4、利用等腰三角形“三线合一”证明
要证二线垂直，若能证二线之一是等腰三角形的底边，另一线是等腰三角形顶角的平分线或底边上的中线，则二线互相垂直。
初中数学2
5、利用菱形的对角线互相垂直证明
6、相似三角形证明
7、圆周角定理的推论：
8、圆的切线垂直于过切点的半径
9、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
其中方法1、2 为初一知识点；方法3、4为初二知识点；方法5、6、7、8、9为初三知识点。
前四种是证明垂直最基础也是最重要的方法，请参考我的上篇文章《初中数学：证明两条直线垂直的方法（上篇，数学方法技巧归纳）》
在本篇中我们继续讨论5、6、7、8、9后五中方法；初中数学3
一、利用直角三角形中两锐角之和为90°
由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90° ，即如果一个三角形的有两个角和为90°，那么第三个角必然为90°。
二、利用全等三角形
勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。
三、利用勾股定理的逆定理证明
四、利用等腰三角形“三线合一”证明
要证二线垂直，若能证二线之一是等腰三角形的底边，另一线是等腰三角形顶角的平分线或底边上的中线，则二线互相垂直。
前四种是证明垂直最基础也是最重要的方法，请参考我的上篇文章《初中数学：证明两条直线垂直的方法（上篇，数学方法技巧归纳）》
五、利用菱形的对角线互相垂直证明：菱形的对角线互相垂直。
例5、如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB＝∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC的延长线于点E.
(1)求证：AC⊥BD；
(2)若AB＝14，cos∠CAB＝7/8，求线段OE的长．
（1）证明：∵ ∠CAB＝∠ACB
∴AB = BC
又∵四边形ABCD为平行四边形
∴四边形ABCD为菱形
∴AC⊥BD（棱形的对角线相互垂直）
六、相似三角形证明
例6、如图，等腰Rt△ABC,中线BE，CA=CB，∠AEF=∠BEC,CF交BE于D
求证：BD⊥CF
证明：过F作FH⊥AC
∵∠AEF=∠BEC
∴△FHE ∽△BCE
∵BE是中线，，BC=CA
∴FH/HE = BC/CE = 2:1 可设EH=x
那么FH = 2x， ∵∠A = 45
∴AH = HF= 2x ∴EC=AE= 2x+x=3x
∴HC = 3x+x=4x
∴HC/FE= BC/CE = 2:1
∴△FHC ∽△ECB
∴∠FCH = ∠EBC
又∠EBC + ∠BEC =90
∴∠FCH + ∠BEC =90
∴BD⊥CF
七、圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。
例7、AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD＝30°，则∠BAD的度数为( )
A．30° B．50° C．60° D．70°
解：如图，连接BD，
∵∠ACD＝30°，∴∠ABD＝30°.
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°－∠ABD＝60°.
故选C.
八、圆的切线垂直于过切点的半径
例8、如图，⊙O的直径AB＝4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC＝5，则AD的长为( )
九、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
例9、如图：已知：CD平分AB，且CD=AD=BD，
求证：△ABC是直角三角形．
证明：∵AD=CD，
∴∠A=∠1．
同理∠2=∠B．
∵∠2+∠B+∠A+∠1=180°，
即2（∠1+∠2）=180°，
∴∠1+∠2=90°，
即：∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形．
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