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高中数学必修1 函数单对称、双对称（证明思路、方法和技巧归纳）

高中数学，奇函数、偶函数只是 点对称和线对称的特殊情形，是最基础且必须掌握的；但是考试试题中，经常遇到的是关于任意点对称或任意直线对称，甚至双对称的情况也比比皆是，这就需要我们更深入的学习，有备无患！下面我们就来一一推导一般情形下的点对称、线对称和双对称公式。

高中数学课堂

一、函数关于某点对称（单对称）

牢记：f(x)关于点（a，b）对称,则有y=f(x)=2b-f（2a-x）或者f(a+x)=2b-f(a-x)

（特别的，奇函数关于原点（0,0）对称）

证明：∵f(x)上关于点（a，b）对称

设P(x0,y0)为函数f(x)上任意一点，即y0 = f(x0)

关于点（a，b）对称的点为Q（x,y）

则有x0+x=2a,y0+y=2b

亦即 x0=2a-x,y0=2b-y

∴有2b-y=f(2a-x),

∴f(x)关于点（a，b）对称的表达式是y=f(x)=2b-f（2a-x），

也可表示为f(a+x)=2b-f(a-x)。

例1、已知函数y=f(x)的定义域是

，函数g(x)=f(x+5)+f(1-x)，若g(x)=0方程有且仅有7个不同的实数解，则这7个实数解之和为_________.

解：∵g(x)=f(x+5)+f(1-x)，令t=2+x，

∴g(t)=f(3+t)+f(3-t)=0

∴f(3+t)=-f(3-t)关于点(3,0)对称，

又方程g(x)=0有且仅有7个不同的实数解，

∴方程有一个根为3，其余六个根关于(3,0)对称。

∴这个实数解之和为3+3×6=21

二、函数关于某一条直线对称（单对称）

牢记：f(x)关于直线x=a对称,则有f(a+x)=f(a-x),或者f(x)=f(2a-x).

（特别的，偶函数关于x=0对称）

证明：因为f(x)关于直线x=a对称,

设 (m,n)为f(x)上任一点,即n=f(m)

则(m,n)关于x=a的对称点(2a-m,n)也在y=f(x)上,

即 n=f(2a-m)

∴ f(m)=f(2a-m)

∴f(x)=f(2a-x).

三、双对称情形

3.1、牢记：函数f(x)关于某点（a,m）成中心对称,关于直线x=b成轴对称，那么f(x)是周期函数，周期是4|a-b|

证明：∵f(x)关于某点（a,m）成中心对称,关于直线x=b成轴对称

∴f(x)+f(2a-x)=2m①, f(2b-x)=f(x)②,

用2b-x代替x，代入①得

f(2b-x)+f(2a-2b+x)=2m，再代入②得

f(x)=2m-f(2a-2b+x)，用2（a-b）+x代替x，得

f[2(a-b)+x)]=2m- f[4(a-b)+x)]，代入f(x)=2m-f(2a-2b+x)得

f(x)=f[4(a-b)+x)]

∴f(x)是周期函数，周期是4|a-b|

例4、已知f(x)是定义域为R的偶函数，且f(1-x)=-f(1+x)，若x∈[0,1]时，f(x)=(x-1)，则f(2018)=（ ）

解：方法一、由题意，f(x)是定义域为R的偶函数

∴f(1-x)=-f(1+x)=f(x-1)，

令t=x-1，则x=t+1代入得

则f(t)=-f(t+2)

∴f(t+2)=-f(t+4)

∴f(t)=f(t+4)，即T=4，

∴f(2018)=f(2)=-f(0)=-1.

方法二、利用点线双对称结论

∵f(1-x)=-f(1+x)

∴函数关于（1,0）对称

又f(x)是定义域为R的偶函数

f(x)是周期函数，且周期为T=4

∴f(2018)=f(2)=-f(0)=-1.

3.2、牢记：函数有两个对称轴（证明略）

f(x)的2个对称轴x=a,x=b.则T=2|a-b|


3.3、牢记：函数有两个对称中心

有f(X）的2个对称中心（a,k）(b,k)则T=2|a-b|

证明：∵f(x)关于某点（a,k）(b,k)成中心对称

∴f(x)+f(2a-x)=2k①, f(x)+f(2b-x)=2k②,

用2b-x代替x，代入①得

f(2b-x)+f(2a-2b+x)=2k，再代入f(2b-x)=2k-f(x)得

2k-f(x)+f(2a-2b+x)=2k

解得：f(x)=f(2a-2b+x)

∴f(x)为周期函数，且周期为T=2|a-b|

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