概率的基本性质

一、知识概述

（一）事件的关系与运算

1、包含关系

　　对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B），记作B

A（或A

B）．

　　事件的包含关系与集合的包含关系：

　　与集合的包含关系类似，B包含事件A（B

A或A

B）

　　可用下图表示．

不可能事件记作

，显然

（C为任一事件）．

事件A也包含于事件A，即A

A．

例如：在投掷骰子的试验中，{出现1点}

{出现的点数为奇数}．

2、相等事件

　　如果B

A且B

A，那么称事件A与事件B相等，记作A＝B．

　　（1）两个相等的事件A、B总是同时发生或同时不发生；

　　（2）所谓A＝B，就是A、B是同一事件，这在验证两个事件是否相等时，是非常有用的，在许多情况中可以说是唯一的一种方法．例如事件C发生，那么事件D一定发生，反之亦然，则C＝D．

3、并（和）事件

　　若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件（或和事件），记作A∪B（或A＋B）．

　　并（和）事件与集合的并集的关系：

　　与两个集合的并集类似，并事件A∪B（或A＋B）可用下图表示．

并事件具有三层意思：

①事件A发生，事件B不发生；

②事件B发生，事件A不发生；

③事件A、B同时发生．

即事件A、B至少有一个发生．

　　事件A与事件B的并事件等于事件B与事件A的并事件．即A∪B＝B∪A．

　　例如：在投掷骰子的试验中，事件C、D分别表示投掷骰子出现1点、5点，则C∪D＝{出现1点或5点}．

4、交（积）事件

　　若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作A∩B（或AB）．

　　交（积）事件与两个集合的交集类似，交事件A∩B（或AB）可用下图表示．

　　事件A与事件B的交事件等于事件B与事件A的交事件，即A∩B＝B∩A．

　　例如：在投掷骰子的试验中，{出现的点数大于3}∩{出现的点数小于5}＝{出现的点数为4}.

5、互斥事件

　　若A∩B为不可能事件，即A∩B＝

，那么称事件A与事件B互斥．

　　思考：如何判断两个事件互斥？

　　探究：在任何条件下都不可能同时发生的事件才是互斥事件．

　　互斥事件与集合的关系：

　　与两个集合类似，互斥事件可用下图表示．

　　（1）A、B互斥是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生；

　　（2）如果A与B是互斥事件，那么A与B两个事件同时发生的概率为0；

　　（3）推广：如果事件A1，A2，…，An中的任何两个事件互斥，就称事件A1，A2，…，An彼此互斥．从集合角度看，n个事件互斥是指各个事件所含结果的集合彼此不相交．

　　例如：在投掷骰子的试验中，若

　　C1＝{出现1点}，C2＝{出现2点}，C3＝{出现3点}，

　　C4＝{出现4点}，C5＝{出现5点}，C6＝{出现6点}，

　　则事件C1与事件C2互斥，C1，C2，C3，C4，C5，C6彼此互斥．

6、对立事件

　　若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么事件A与事件B互为对立事件．

　　对立事件与集合：

　　与两个集合类似，对立事件可用下图表示．

　　（1）从集合角度看，事件A的对立事件，是全集中由事件A所包含结果组成的集合的补集；例如：在投掷骰子的试验中，C＝{出现2点}，则C的对立事件是D＝{出现1，3，4，5，6点}．

　　（2）事件A、B对立是指事件A与事件B在一次试验中有且仅有一个发生．事件A与事件B在一次试验中不会同时发生．

　　（3）对立事件是针对两个事件来说的，一般地，两个事件对立，则两个事件必为互斥事件，反之，两个事件是互斥事件，但未必是对立事件．

　　（4）对立事件是一种特殊的互斥事件，若A与B是对立事件，则A与B互斥且A∪B（或A＋B）为必然事件．

　　（5）在一次试验中，事件A与它的对立事件只能发生其中之一，并且也必然发生其中之一．

（二）概率的几个基本性质

1、概率P（A）的取值范围

　　由于事件的频数总小于或等于试验的次数，所以频率在0到1之间，从而任何事件的概率都在0到1之间，即0≤P（A）≤1．

　　联想·引申：

　　（1）必然事件B一定发生，则P（B）＝1；

　　（2）不可能事件C一定不发生，则P（C）＝0；

　　（3）若A

B，则P（A）≤P（B）．

2、概率的加法公式

　　当事件A与B事件互斥时，A∪B发生的频数等于A发生的频数与B发生的频数之和，从而A∪B的频率fn(A∪B)＝fn(A)＋fn(B)，则概率的加法公式为：

　　P（A∪B）＝P（A）＋P（B）

　　联想·发散：

　　（1）事件A与事件B互斥，如果没有这一条件，加法公式将不能应用．

　　例如：抛掷一颗骰子，观察掷出点数，记事件A＝“出现奇数”，事件B＝“出现的点数不超过3”，那么A与B就不互斥．因为如果出现1或3，就表示A与B同时发生了．事件A∪B包括4种结果：出现1，2，3和5，因而P（A∪B）＝

，而P（A）＝，P（B）＝

，显然，P（A∪B）≠P（A）＋P（B）；

　　（2）如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么P（A1＋A2＋…＋An）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P（An），即彼此互斥事件的概率等于各事件概率的和；

　　（3）在求某些稍复杂的事件的概率时，可将其分解成一些概率较易求的彼此互斥的事件，化整为零，化难为易．

3、对立事件的概率公式

　　若事件A与事件B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P（A∪B）＝1，又P（A∪B）＝P（A）＋P（B），故P（A）＝1－P（B）．

　　注：两个互斥事件不一定是对立事件，而两个对立事件一定是互斥事件，即两个事件对立是这两个事件互斥的充分不必要条件．

二、例题讲解：

例1、判断下列事件是否是对立事件，是否是互斥事件．

从扑克牌40张（黑红梅方各10张）中任取一张．

（1）抽出的是红桃与抽出的是黑桃；

（2）抽出的红色牌与抽出的是黑色牌；

（3）抽出的牌点数为5的倍数与抽出的牌点数大于9.

答案：互斥不对立，互斥对立，不互斥不对立

例2、福娃是北京2008年第29届奥运会吉祥物，每组福娃都由“贝贝”、“晶晶”、“欢欢”、“迎迎”和“妮妮”这五个福娃组成．甲、乙两位好友分别从同一组福娃中各随机选择一个福娃留作纪念，按先甲选再乙选的顺序不放回地选择，则在这两位好友所选择的福娃中，“贝贝”和“晶晶”恰好只有一个被选中的概率为________．

例3、某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示：

年降水量 (单位：mm)	[100，150）	[150，200）	[200，250）	[250，300）
概率	0.12	0.25	0.16	0.14

（1）求年降水量在[100，200)(mm)内的概率；

（2）求年降水量在[150，300)(mm)内的概率．

解：

　　（1）记这个地区的年降水量在

、

、

、

范围内分别为事件

，这4个事件是彼此互斥的，根据互斥事件的概率加法公式，年降水量在[100，200)(mm)范围内的概率是

，∴年降水量在[100，200)(mm)范围内的概率是0.37．

　　（2）年降水量在[150，300)(mm)范围内的概率是

　　，

　　∴年降水量在[150，300)(mm)范围内的概率是0.55．

例4、某工厂的产品中，出现二级品的概率是0.07，出现三级品的概率是0.03，其余都是一级品和次品，并且一级品数量是次品的9倍，求出现一级品的概率．

解：

　　设出现一级品的概率是P（A），因为一级品数量是次品的9倍，故出现一级品的概率也是次品的概率的9倍，出现次品的概率为P(A)．根据题意，应有P(A)＋

P(A)＋0.07＋0.03＝1，解得P(A)＝0.81．

　　∴出现一级品的概率是0.81．

例5、同时抛掷两个骰子（各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．计算：

　　（1）向上的数相同的概率；

　　（2）向上的数之积为偶数的概率．

解：

　　每掷一个骰子都有6种情况，所以同时掷两个骰子总的结果数为6×6＝36种．

　　（1）向上的数相同的结果有6种，故其概率为

．

　　（2）向上的数之积为偶数的情况比较多，可以先考虑其对立事件，即向上的数之积为奇数．向上的数之积为奇数的基本事件有：(1，1)，(1，3)，(1，5)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(5，1)，(5，3)，(5，5)，共9个，故向上的数之积为奇数的概率为；

　　根据对立事件的性质知，向上的数之积为偶数的概率为

．

例6、射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21、0.23、0.25、0.28，计算这个射手在一次射击中：

　　(1)射中10环或7环的概率；

　　(2)不够7环的概率．

解：

　　(1)记：“射中10环”为事件A，记“射中7环”为事件B，由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件．“射中10环或7环”的事件为A＋B，

　　故P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49．

　　(2)记“不够7环”为事件E，则事件

为“射中7环或8环或9环或10环”，由(1)可知“射中7环”“射中8环”等是彼此互斥事件．

　　∴＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97，

　　从而P(E)＝1－

＝1－0.97＝0.03，所以不够7环的概率为0.03．