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小学奥数每日一题018 - 卡拉数学

题目:有101条线段,它们的端点互不相同,但都位于同一条直线上。任意一条线段都至少与另外50条线段有公共部分。问其中是否一定能找到一条线段,与另外100条线段都有公共部分?

今天的题目是组合问题,相传来自古希腊,解题所用知识不超过小学4年级。

如果你想思考一下,可以暂停滚屏,思考1分钟后,再继续。


思路分析:

这道题属于组合问题,要说明不一定能找到这样的线段,需要构造出一种线段的排列方式;

要说明一定能找到这样的线段,需要给出严格的证明。

这里我们采用严格证明的方法,解题过程中需要用到最值原理:即有限个数中一定有最大和最小值。

应用最值原理的一个简单变形,考虑所有线段中左端点中最靠右的一条,把这条线段记作L(1),其左端点记作A;考虑所有线段中右端点中最靠左的一条,把这条线段记作L(2),其右端点记作B;显然A,B两点不会重合。

我们先讨论当A位于B左侧时的情况,再讨论当B位于A左侧时的情况,二者综合就是最终的答案。


步骤1:

先思考第一个问题,当A位于B左侧时,是否能找到满足题目要求的线段?

由于此时A在B的左侧,故可以把AB看作一条线段,

下面将说明AB是这101条线段的公共部分:

由于所有线段的左端点都在A左侧,且所有线段的右端点都在B右侧,故这101条线段都包含了AB在内。这说明任意两条线段都有公共部分,因此任意一条线段,与另外100条线段都有公共部分。

注:对不太擅长空间想象的孩子,在纸上画个图会更直观。


步骤2:

再思考第二个问题,当B位于A左侧时,是否能找到满足题目要求的线段?

由于B位于A的左侧,故L(1)与L(2)两条线段无公共部分。注意到L(1)与50条线段有公共部分,且L(2)与50条线段有公共部分,除L(1)与L(2)外只有99条线段,由于50+50 > 99,故定有一条线段与L(1)、L(2)都相交,不妨把这条线段记作L(3),显然A,B点都在L(3)上。

下面将说明L(3)与所有线段都相交。

对这101条线段中的任一线段P,由于线段P的左端点在A点左侧,而A点在L(3)上,故线段P不全在L(3)的右侧;由于线段P的右端点在B点右侧,而B点在L(3)上,故线段P不全在L(3)的左侧。故线段P与L(3)有公共部分。

因此L(3)与所有线段都有公共部分。


步骤3:

综合上述几个问题,考虑原题目的答案。

由于A,B两点位置只有两种情况,分别对应着步骤1与步骤2。

而在步骤1和步骤2中,都能找到满足题目要求的线段。所有原题的答案是一定能找到。


你学会了吗?

有兴趣的读者可以考虑自行练习下面的扩展题

思考题:原题目改个条件

有101条线段,它们的端点互不相同,但都位于同一条直线上。任意一条线段都至少与另外49条线段有公共部分。问其中是否一定能找到一条线段,与另外100条线段都有公共部分?


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