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小学奥数每日一题027 - 出神入化的排列组合问题

题目:一个圆桌有12个座位,编号为1至12。现有4个学生和4个家长入座,要求学生坐在偶数位,家长与孩子相邻。满足要求的坐法共有多少种?


今天的题目是排列组合问题。

如果你想思考一下,可以暂停滚屏,思考1分钟后,再继续。


思路分析:
这道题属于排列组合问题,基本方法就是加法与乘法原理,
分类讨论用加法,分步骤进行用乘法。
题目的难点有两处:
第一是共有4个空位,
第二是家长和学生的左右关系不一定。
由于4个空位中有2个是偶数,
而偶数空位的间隔情况,
决定着奇数空位的选择种数,
又决定着家长与学生的左右关系。
故应该首先对此进行分类讨论。

先对偶数空位的间隔情况进行讨论,
再对不同的情况分别计算坐法种数,
最后将几种情况的结果相加。


步骤1:
先思考第一个问题,
偶数空位的间隔情况有几种可能?
这个问题比较简单,
2,4,6,8,10,12这6个偶数围成一圈,
由于间隔3个偶数与间隔1个等价,
间隔4个偶数与间隔0个等价,
任意2个偶数之间,
最多间隔2个偶数,
最少间隔0个偶数,
因此间隔情况有3种不同可能,
即分别间隔0,1,2个偶数。
下面将对这3种情况分类讨论。


步骤2:
再思考第二个问题,
当两个偶数空位间隔0个偶数,
有多少种不同的坐法?
第一步考虑这2个偶数空位的选法,
共有6种不同可能;
第二步考虑奇数空位的选法,
4个空位中有2个奇数空位,
分别位于这2个偶数空位的两侧,
左侧的从5个奇数位中选1个,
右侧的从1个奇数位中选1个,
共有5*1种不同可能;
第三步考虑4个学生4个家长的座位,
由于家长必须与学生相邻,
故此时只需安排4个学生即可,
共有4*3*2*1种不同可能。
由于上述过程是分步骤进行的,
根据排列组合的乘法原理,
因此有6*5*1*4*3*2*1种不同可能。


步骤3:
再思考第三个问题,
当两个偶数空位间隔1个偶数,
有多少种不同的坐法?
第一步考虑这2个偶数空位的选法,
共有6种不同可能;
第二步考虑奇数空位的选法,
4个空位中有2个奇数空位,
分别位于这2个偶数空位的两侧,
左侧的从4个奇数位中选1个,
右侧的从2个奇数位中选1个,
共有4*2种不同可能;
第三步考虑4个学生4个家长的座位,
由于家长必须与学生相邻,
故此时只需安排4个学生即可,
共有4*3*2*1种不同可能。
由于上述过程是分步骤进行的,
根据排列组合的乘法原理,
因此有6*4*2*4*3*2*1种不同可能。


步骤4:
再思考第四个问题,
当两个偶数空位间隔2个偶数,
有多少种不同的坐法?
第一步考虑这2个偶数空位的选法,
共有3种不同可能;
第二步考虑奇数空位的选法,
4个空位中有2个奇数空位,
分别位于这2个偶数空位的两侧,
左侧的从3个奇数位中选1个,
右侧的从3个奇数位中选1个,
共有3*3种不同可能;
第三步考虑4个学生4个家长的座位,
由于家长必须与学生相邻,
故此时只需安排4个学生即可,
共有4*3*2*1种不同可能。
由于上述过程是分步骤进行的,
根据排列组合的乘法原理,
因此有3*3*3*4*3*2*1种不同可能。


步骤5:
综合上述几个步骤,
考虑原题目的答案。
根据步骤1的结论可得,
步骤2,3,4已经包括所有情况,
且它们是分情况讨论的,
根据排列组合的加法原理,
只需把上述3个结果相加即可,
因此不同的坐法总数是:
(6*5*1+6*4*2+3*3*3)*4*3*2*1
=105*24=2520种。
所以原题目的答案是2520。


注:步骤2,3,4其实有规律可寻,
就是5+1=4+2=3+3=6,
即便12再加大一点也容易求解。


你学会了吗?

有兴趣的读者可以考虑自行练习下面的扩展题


思考题(3星难度):
原题目换个条件。
一个圆桌有12个座位,编号为1至12。现有6个学生和6个家长入座,要求学生坐在偶数位,家长与孩子相邻。满足要求的坐法共有多少种?


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