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小学奥数每日一题027 - 出神入化的排列组合问题

题目：一个圆桌有12个座位，编号为1至12。现有4个学生和4个家长入座，要求学生坐在偶数位，家长与孩子相邻。满足要求的坐法共有多少种？


今天的题目是排列组合问题。

如果你想思考一下，可以暂停滚屏，思考1分钟后，再继续。

思路分析：
这道题属于排列组合问题，基本方法就是加法与乘法原理，
分类讨论用加法，分步骤进行用乘法。
题目的难点有两处：
第一是共有4个空位，
第二是家长和学生的左右关系不一定。
由于4个空位中有2个是偶数，
而偶数空位的间隔情况，
决定着奇数空位的选择种数，
又决定着家长与学生的左右关系。
故应该首先对此进行分类讨论。

先对偶数空位的间隔情况进行讨论，
再对不同的情况分别计算坐法种数，
最后将几种情况的结果相加。

步骤1：
先思考第一个问题，
偶数空位的间隔情况有几种可能？
这个问题比较简单，
2,4,6,8,10,12这6个偶数围成一圈，
由于间隔3个偶数与间隔1个等价，
间隔4个偶数与间隔0个等价，
任意2个偶数之间，
最多间隔2个偶数，
最少间隔0个偶数，
因此间隔情况有3种不同可能，
即分别间隔0,1,2个偶数。
下面将对这3种情况分类讨论。

步骤2：
再思考第二个问题，
当两个偶数空位间隔0个偶数，
有多少种不同的坐法？
第一步考虑这2个偶数空位的选法，
共有6种不同可能；
第二步考虑奇数空位的选法，
4个空位中有2个奇数空位，
分别位于这2个偶数空位的两侧，
左侧的从5个奇数位中选1个，
右侧的从1个奇数位中选1个，
共有5*1种不同可能；
第三步考虑4个学生4个家长的座位，
由于家长必须与学生相邻，
故此时只需安排4个学生即可，
共有4*3*2*1种不同可能。
由于上述过程是分步骤进行的，
根据排列组合的乘法原理，
因此有6*5*1*4*3*2*1种不同可能。

步骤3：
再思考第三个问题，
当两个偶数空位间隔1个偶数，
有多少种不同的坐法？
第一步考虑这2个偶数空位的选法，
共有6种不同可能；
第二步考虑奇数空位的选法，
4个空位中有2个奇数空位，
分别位于这2个偶数空位的两侧，
左侧的从4个奇数位中选1个，
右侧的从2个奇数位中选1个，
共有4*2种不同可能；
第三步考虑4个学生4个家长的座位，
由于家长必须与学生相邻，
故此时只需安排4个学生即可，
共有4*3*2*1种不同可能。
由于上述过程是分步骤进行的，
根据排列组合的乘法原理，
因此有6*4*2*4*3*2*1种不同可能。

步骤4：
再思考第四个问题，
当两个偶数空位间隔2个偶数，
有多少种不同的坐法？
第一步考虑这2个偶数空位的选法，
共有3种不同可能；
第二步考虑奇数空位的选法，
4个空位中有2个奇数空位，
分别位于这2个偶数空位的两侧，
左侧的从3个奇数位中选1个，
右侧的从3个奇数位中选1个，
共有3*3种不同可能；
第三步考虑4个学生4个家长的座位，
由于家长必须与学生相邻，
故此时只需安排4个学生即可，
共有4*3*2*1种不同可能。
由于上述过程是分步骤进行的，
根据排列组合的乘法原理，
因此有3*3*3*4*3*2*1种不同可能。

步骤5：
综合上述几个步骤，
考虑原题目的答案。
根据步骤1的结论可得，
步骤2,3,4已经包括所有情况，
且它们是分情况讨论的，
根据排列组合的加法原理，
只需把上述3个结果相加即可，
因此不同的坐法总数是：
(6*5*1+6*4*2+3*3*3)*4*3*2*1
=105*24=2520种。
所以原题目的答案是2520。


注：步骤2,3,4其实有规律可寻，
就是5+1=4+2=3+3=6，
即便12再加大一点也容易求解。

你学会了吗？

有兴趣的读者可以考虑自行练习下面的扩展题


思考题（3星难度）：
原题目换个条件。
一个圆桌有12个座位，编号为1至12。现有6个学生和6个家长入座，要求学生坐在偶数位，家长与孩子相邻。满足要求的坐法共有多少种？

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