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从“弦图”到“一线三等角”

王 桥

从茫茫题海中的一道道题目出发，找出他们的形式上或解法上的共同点，提炼出他们的共同属性，既是从特殊到一般的过程，也是逐渐建模的过程。运用一个个模型，反过来再解决一道道具体的问题，则是模型运用的过程。

“一线三等角模型”无疑是比较常见的几何模型之一，在《沙场秋点兵》和《春季攻势》以及《冲刺十招》中都有涉及。但在三本书中是从不同的角度进行讲解的。《沙场秋点兵》把他放在了“相似三角形的九大模型”一讲，所占篇幅不大；《春季攻势》虽然单独开辟一讲“一线三等角和手拉手模型”，但仍然感觉意犹未尽；《冲刺十招》是放在“胸有成竹会'建模’”一讲，因篇幅局限，更有隔靴挠痒之感觉。

目前，正在讲《沙场秋点兵》之“相似三角形的九大模型”，并将开始着手修订新的《春季攻势》。“老王的数学”公众号的相关文章，作为这三本拙作的画蛇添足之笔，因不受篇幅长短和阅读时间的限制，自然可以自由发挥。今天，咱们就聊聊“弦图”（也叫“三垂直”模型）和“一线三等角”模型。

“弦图”模型是特殊情况，“一线三等角”模型是一般情况；“弦图”模型和“一线三等角”模型又各自分为“全等”和“相似”两大类。

一、咱们先看“全等”型。

（一）“全等”型“弦图”


如图1、图2，若∠BCA=∠AED=∠BAD=90°，且AB=AD，则△ABC≌△DAE。

其实，这两个“弦图”，也给我们提供了一种构造“弦图”的策略。即如图3，若知道等腰Rt△BAD中，∠BAD=90°且AB=AD，常见的策略就是构造“弦图”——斜直角放正。即过等腰直角三角形的直角顶点A作水平线，再分别过B、D作水平线的垂线BC、DE，即可构造△ABC≌△DAE；或者过点A作铅垂线，再过分别过B、D作铅垂线的垂线BM、DN，即可构造△ABM≌△DAN；

（二）“全等”型“一线三等角”

1、如图4、图5，若∠BCA=∠AED=∠BAD=α，且AB=AD，则△ABC≌△DAE。

2、如图6、图7，若∠BCM=∠DEM=∠BAD=α，且AB=AD，则△ABC≌△DAE。

很显然，当“全等型一线三等角模型”中的三个等角“α”等于90°时，就是前面的“弦图模型”。

例1、（2020天水）如图8，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为．——选自《春季攻势》第11讲“一线三等角与手拉手”

【解析】：如图9，构造弦图，则易证明△FME≌△ENO。∵点E（2，3），则ON=ME=2，EN=FM=3，∴MN=EN+EM=5，FH=FM-HM=FM-ON=3-2=1，则F（-1，5）.

二、“相似”型。

（一）“三垂直”型

如图11、图12，若∠BCA=∠AED=∠BAD=90°，则△ABC∽△DAE。

我们也可以根据这两个图形构造“弦图”。即如图13，若知道等腰Rt△BAD中，∠BAD=90°，常见的策略就是构造“弦图”——斜直角放正。即过直角三角形的直角顶点A作水平线，再分别过B、D作水平线的垂线BC、DE，即可构造△ABC∽△DAE；或者过点A作铅垂线，再过分别过B、D作铅垂线的垂线BM、DN，即可构造△ABM∽△DAN；


（二）“一线三等角相似”型

1、如图14若∠BCA=∠AED=∠BAD=α，则△ABC∽△DAE。

2、如图15，若∠BCM=∠DEM=∠BAD=α，则△ABC∽△DAE。

（三）“中点型一线三等角相似”模型

1、如图16，若∠BCA=∠AED=∠BAD=90°，且AC=AE。则△ABC∽△DAE∽△DBA，AB平分∠CBD，AD平分∠BDE；

2、如图17，若∠BCA=∠AED=∠BAD=α，且AC=AE。则△ABC∽△DAE∽△DBA，AB平分∠CBD，AD平分∠BDE；

例3、（2021广东）如图，边长为1的正方形ABCD中，点E为AD的中点．连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，BF交AC于点G，求CG的长．——选自《沙场秋点兵》

例4、如图1,在等腰三角形ABC中,∠BAC=120°，AB=AC=2，点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合)，在AC上取一点E，使∠ADE=30°.

(1)求证：△ABD∽△DCE；

(2)设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；

(3)当△ADE是等腰三角形时，求AE的长。——选自《沙场秋点兵》“相似三角形的九大模型”

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