吴树仙：哥德尔定理与逻辑认知进化 ​

哥德尔定理与逻辑认知进化

吴树仙

（国家纳米科学中心）

哥德尔定理是20世纪现代逻辑科学的三大成果之一, 在自然和人文社会科学领域被广泛引用和阐述。其所揭示的不完全性, 不仅存在于数学或逻辑系统之中, 而且普遍存在于人类使用的语言符号之中。此后, 逻辑理论和分析方法发生了重大变革, 影响了西方哲学的发展形态。从进化与辩证的角度来看, 哥德尔定理不应该被绝对化, 人类认知是不断发展的过程;在科学实践中, 系统不断通过逻辑进化来解决问题, 理性逻辑思维与直觉思维是辩证统一的。

“理性永远存在, 但它并不永远存在于理性的形式之中。”

——卡尔·马克思

哥德尔 (Kurt Gödel) 一生证明了两个重要的定理。一个是1930年证明的一阶逻辑的完全性定理, 另一个是1931年证明的形式算术系统的不完全性定理。在被称为“20 世纪最有意义的数学真理”当中, 最有震撼力的是不完全性定理, 后来它就被简称为哥德尔定理。这一理论不仅改变了数学, 而且改变了整个科学世界和建筑于此定理之上的哲学, 更是现代逻辑史上很重要的一座里程碑。它与塔斯基 (Tarskey) 的形式语言的真理论, 图灵机和判定问题, 被赞誉为现代逻辑科学在哲学方面的三大成果 [ 1 ] 。

哥德尔定理诞生60多年来, 人们对它的思考和讨论就没有停止过。著名物理学家弗里曼·戴森 (Freeman Dyson) 曾引用哥德尔定理来驳斥万有理论;史蒂芬·霍金 (Stephen Hawking) 也在题为“哥德尔和物理学的终结”的演讲中阐述了哥德尔定理与物理学的关系。他说:“根据科学的实证哲学, 一个物理学定理是一个数学模型。如果存在不可证的数学结果, 也就存在不可预测的物理学问题” [ 2 ] 。哥德尔定理还广泛地被哲学家、社会学家、语言学家、逻辑学家、计算机和人工智能专家等等各领域的人用来作为他们有限论或无限论、可知论或怀疑论、悲观主义或乐观主义的理论依据。这在科学发展史上是非常少见的。哥德尔定理粉碎了逻辑最终将使我们理解整个世界的梦想, 其所揭示的不完全性, 不是仅存在于一个数学或逻辑系统之中, 而是普遍存在于人类使用的语言符号之中。这是人类认知无法逾越的障碍, 还是我们对该定理的误解和滥用?什么是理性思维的界限?哥德尔以后, 人们不得不重新思考数学、逻辑学和哲学的语言基础问题。逻辑理论和分析方法发生了重大变革, 从而影响了西方哲学的发展形态。笔者通过课程学习和相关文献考察, 认为哥德尔定理并未制约人类理性认知的发展, 而是更新了人们进行科学研究的方法和观念, 逻辑认知系统不断进化来克服现存的问题;该定理所揭示的是“绝对真理”和“相对真理”的关系, 与物理学的相对论有异曲同工之妙, 本文欲从进化与辩证的角度探讨上述富有挑战性的问题。

一、哥德尔定理的产生及其哲学意义

(1) 背景-希尔伯特方案

20世纪20年代, 在集合论不断发展的基础上, 德国大数学家希尔伯特向全世界的数学家提出了一个宏伟计划, 要建立一组公理体系, 使一切数学命题原则上都可由此经有限步推定真伪, 即公理体系的“完备性”;他还要求公理体系保持“无矛盾性” (即相容性, 公理和公理之间不能是自相矛盾的) 。数学作为一门演绎的科学, 它的确定性几乎与逻辑的确定性等价。但非欧几何的诞生以及它与欧几里德几何的相对一致性, 尤其是集合论悖论的发现, 使数学家必须去证明已有的各个数学系统的绝对一致性。这样, 我们才可以找到知识确定性的的基础。这就是希尔伯特方案。

值得指出的是, 希尔伯特所说的公理不是我们通常认为的公理, 而是经过了彻底的形式化。所谓形式化就是只考虑符号的种类, 符号的排列以及从符号序列到符号序列的变形而不考虑它们的意义的一种方法。一个形式系统通常由几部分组成: (1) 各种初始符号, 它们是系统的字母表; (2) 形成规则, 它们规定哪些符号序列是合式的, 合式的符序列称为合式公式; (3) 公理, 它们是被挑选出来的一些合式公式, 作为系统推演的出发点; (4) 变形规则, 它们明确规定一个合式公式怎样可以变换为另一个合式公式。形式系统就是这样一个抽象的“无意义”的框架。

于是, 在一个形式系统内, 数学的可证性成为一个技术上可操作的概念。所谓证明就是有穷多个符号序列, 其中每一个符号列或者是一条公理, 或者是从先行的符号序列应用变形规则得到的, 最后一个符号序列被称为定理。全部定理构成了一个系统内可证的命题。一个形式系统还必须满足一个基本要求, 即要能在有穷步骤内根据已给定的机械方法判定一个符号序列是否为合式公式;一个合式公式是否为一公理;一个有穷长的合式公式序列是否为一证明。因此, 希尔伯方案以形式系统为出发点, 把数学对象与形式系统的符号串相匹配, 企图发现一个没有内在矛盾的并且其定理完全符合于全部算术的真事实的形式系统。如果解决了算术形式系统的一致性问题, 也就解决了整体数学的一致性问题。

然而, 1931年, 当哥德尔遵循希尔伯特方案试图证明形式算术系统的一致性时, 却得到了意想不到的结果。这便是闻名于世的哥德尔不完全性定理。

(2) 哥德尔定理的内容及哲学基础

在那篇著名的论文“论《数学原理》和相关系统I中的形式不可判定命题” (über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I) “中, 哥德尔提出和证明了不完全性定理 [ 3 ] 。实际上, 哥德尔证明了两个不完全性定理:第一, 一个不弱于初等数论的形式系统S, 如果一致, 则不完全;第二, 这样的形式系统如果一致, 则这种一致性在系统内不可证。第二定理也可以作为第一定理的直接推论。不完全的意义是, 在该系统的语言中存在这样一个陈述, 它在该系统中既不能被证明, 也不能被证伪。这样的陈述被称为在该系统中是不可判定的。

所谓初等数论形式系统, 是指用形式化方法构造的算术公理系统 (简称算术系统) 。它有三个层面:语法、语义和元理论 (称为元数学) 。算术系统是一致的, 是指不存在公式A , A 和⇁A ( A 的否定) 都可证。算术系统是完全的, 是指不存在公式A , A 和⇁A 都不可证。哥德尔证明:任何无矛盾的公理体系, 只要包含初等算术的陈述, 则必定存在一个不可判定命题, 用这组公理不能在有限步内判定其真假。也就是说, “无矛盾”和“完备”是不能同时满足的! (具体证明过程见 [ 3 ]

理解哥德尔不完全性定理, 首先要弄清楚算术系统的两个基本概念:“可证”和“真” [ 4 ] 。“可证”是语法概念。一个公式可证, 是指存在它的一个证明, 即存在以该公式结尾的一个公式序列, 其中每个公式或者是公理, 或者是依据规则得到的。判定一个公式是否可证, 不涉及任何涵义。“真”是个语义概念。一个公式真, 形式地说, 是指它经过语义解释后确定为真;直观地说, 是指它表达算术真理。因此, 一个公式可证与该公式真, 不能直接画等号。值得注意的是, 哥德尔在证明过程中是区分了“真”和“可证”的, 这甚至早于塔尔斯基的T语句, 是他第一次将“真”与“可证”作为不同的概念来对待。他告诉我们, 可证的一定是真的, 但真的不一定可证。这种区分对以后的数理逻辑和哲学研究产生了重要的影响。 [ 5 ]

这里不得不提到, 与哥德尔几乎同时代的大哲学家维特根斯坦 (Ludwig Wittgenstein) 从“真”与“可证”的关系出发, 批判地表达了自己对哥德尔定理的看法。 [ 6 ] 他认为, “在罗素的系统中为真”即意味着“在罗素系统中可证”。对于维氏的评论, 学者们多持批评态度;近年来, 一些学者也为其评论寻找合理的解读方式, 例如从直觉主义的数学观出发理解维特根斯坦的评论, 认为维特根斯坦后期的数学观是直觉主义的 [ 7 ] 。但这些却似乎有开脱之嫌。看来, 维特根斯坦的评论并不合乎哥德尔本人的思想。哥德尔的“真”来自“数学直觉”。在哲学上哥德尔始终如一地坚持异常强硬的柏拉图主义态度。如果没有这种形而上学观点, 他就不能以数学直觉为标尺度量形式化的完全性。在哥德尔看来, 数学中之所以存在不完全性是因为人们无法将所有的数学直觉形式化。因为一旦部分直觉被形式化了, 这种直觉又将成为新的直觉知识。简言之, 哥德尔的不完全性指的是数学直觉和形式化之间的关系, 也即直觉思维与相对的理性思维的关系。

二、哥德尔定理与逻辑进化

在当时的经典逻辑的前提范围内, 哥德尔定理揭示了其真理性是相对的, 形式化方法的应用是有限制的。但是, 它并未给出人类理性的界限, 并未否定形式化方法和逻辑学, 恰恰相反, 它极大地促进了现代逻辑学的发展。哥德尔定理的证明本身就说明, 形式化方法和演绎的运用仍然是有效的认知方式。

哥德尔不完全性定理使逻辑学发生了革命, 在它之后, 经典逻辑发生了重大的变革--在笔者看来是逻辑的进化 (虽然没有见到有人正式提出这种说法) , 是逻辑学或者逻辑系统本身为了更加适应科学和哲学发展环境的进化, 并且, 在今天和将来的任一时间点上, 这种进化一直都在延续着。逻辑系统或逻辑理论的进化象是一棵分形学意义上的树, 它不是一个线性扩张的序列, 它具有无穷性, 不确定性, 和复杂性的特征。每个逻辑系统是一个节点, 节点之间通过连线彼此相连。我们知道, 逻辑的基础是语言。逻辑是建立在某一特殊语言上的关于认识模式和推理系统的理论体系。从这个意义上来说, 人类在进化, 语言在进化, 逻辑也在进化。因此, 逻辑的进化是两个方面的力量交织作用的结果:来自环境要求的外部力量和其自身基础的内部力量。过去一个多世纪以来, 西方哲学和逻辑学的发展经历了从怀疑自然语言的适当性而试图建立一种理想语言开始, 到对理想语言幻想的破灭, 后又重新回归于自然语言这样一条曲折发展和辩证回归到道路。各种逻辑理论也不必再千篇一律地保持经典的形式。

逻辑的进化表现在两个方面:扩充和变异。所谓经典逻辑的扩充 (extensions of classical logic) , 就是在经典逻辑的基础上增加新的算子而得到的逻辑系统和逻辑理论, 如模态逻辑, 道义逻辑, 认识逻辑, 时间逻辑等等;所谓经典逻辑的变异 (alternative to classical logic) , 就是对经典逻辑中的一个或两个前提提出挑战, 改变它们或者抛弃他们, 从而得到新的逻辑系统和逻辑理论, 如多值逻辑, 直觉主义逻辑, 自由逻辑、相关逻辑, 非单调逻辑, 概率逻辑等等。经典逻辑加上它的扩张和变异所得到的逻辑理论合称为基本逻辑 (basic logic) , 它是比一个经典逻辑范围广大得多的逻辑体系, 更重要的是, 与经典逻辑仅仅适用于数学分析不同, 基本逻辑更加适用于对数学以外的其他学科的分析。将基本逻辑应用于哲学的分析, 得到哲学逻辑;应用于语言的分析, 得到语言逻辑;应用于科学的分析, 得到科学逻辑, 包括量子逻辑, 生物学的逻辑、人工智能的逻辑等等 [ 8 ] 。

有学者提出一种进化逻辑系统 [ 9 ] , 是在人工智能心理学派研究的推动下诞生的一种科学进步和发展的动态模式。进化的逻辑由三个部分组成:1.选择的逻辑或间接评价的逻辑;2.通过反复竞争而进行的学习;3.遗传发现的逻辑。进化的逻辑的核心是一种学习和发现的算法。最重要特征是把逻辑研究的重点从论证逻辑转移到动态的发展逻辑, 使逻辑有可能反映知识增长的动态图景。它用一种独特的方式描述了知识增长的进程, 引进了优胜劣汰, 适者生存的选择机制, 提出了既有继承又有发展的遗传算法, 是科学发展的逻辑。

20世纪70年代中期以后, 由于认知科学的诞生, 对逻辑学的研究又提出了新的要求。认知科学以体验哲学为基础, 以涉身心智为研究对象, 它对理性主义的逻辑学乃至近代以来整个西方的理性主义思想提出了挑战。国内有学者提出建立认知逻辑的体系来适应科学技术特别是认知科学的发展 [ 10 ] 。认知科学由6个相关学科支撑:哲学、心理学、语言学、人类学、计算机科学、神经科学。与之相应, 认知逻辑的体系包括哲学逻辑、语言逻辑、心理逻辑、文化与进化的逻辑、人工智能的逻辑、脑与神经系统的逻辑。认知逻辑体现了回归自然语言并基于经验、非形式化和非演绎、反映认知的规律三大特征。它放弃作为思维立法者的企图, 在语言基础和研究方法上更多地关心人, 关心语言的使用者。其研究方法的特殊性在于, 它同时使用现代语言学和现代逻辑学的方法, 并将人的因素引入到逻辑理论之中, 建立起一种与语言的使用者有关的、而不是适用于一切人的逻辑理论。因此, 认知逻辑是一种展现认知科学特征的新的逻辑理论。

在变革的过程中, 有的逻辑系统虽然失去了一阶逻辑的某些性质, 如紧致性, 但是, 它们都越来越强大, 比起那些性质全面但推理能力很弱的系统要有用得多。实践表明, 逻辑理论和逻辑系统具有很强的生命力, 它的发展与人类的认知发展是相辅相成的。

三、哥德尔定理与人工智能极限

冯·诺伊曼 (von Neumann) 受哥德尔编码的启发设计了世界第一台计算机。现代逻辑和形式化方法普遍应用在计算机科学的人工智能领域, 使其成为理性思维的代表。什么是理性思维的界限?形式化能代表理性思维的全部吗?由哥德尔定理所揭示的局限性自然就引起广泛的争论。

1950 年图灵在《计算机器与智能》中指出, 机器也能够思维。这篇文章还隐含着“人心等价于一台计算机”的论断。1961年美国哲学家鲁卡斯提出著名的“鲁卡斯论证”, 在《心、机器、 哥德尔》中, 试图用哥德尔定理证明“人心超过计算机”的结论。1979年 《哥德尔、艾舍、巴赫, 一条永恒的金带》一书, 试图从多个视角阐明如何用哥德尔定理否证强人工智能方案。

哥德尔本人指出, 人工智能的极限不是哥德尔定理的直接推论, “从我的定理可以推出的结论只能是如下形式的选言判断:或者数学是不可完全的, 即它的自明的公理不可 能包含在有穷规则中, 因此人心超过有穷机器;或者存在人心绝对不可判定的数论问题”。哥德尔1931年曾经在一个重要脚注和给蔡梅罗的信中指出, “所有数学形式系统的内在不完全性的根源在于, 更高类型的形式化总能持续到超穷, ......因此, 这里构造的不可判定命题在更高类型中将变成可判定的” [ 11 ] 。哥德尔的这一断言为我们不断突破低层形式系统的局限, 寻求更高类型形式系统模拟人类智能提供了丰富的空间。我们无法证明理性思维存在不可逾越的逻辑极限, 完全可以探索如何超越目前的图灵机来模拟人类智能的新途径。

“认知即是计算”, 这是认知科学的基本假设。目前人工智能领域也完全是在图灵意义上的“认知可计算主义”的范式指导下工作。那么, 是否可以采用某种新型的包含非古典逻辑的具有动态性质的形式系统, 在这种系统中哥德尔定理不成立呢?有些学者 (如物理学家霍金等) 认为, 哥德尔不完全性定理适用于非形式系统甚至一切科学理论。按照哥德尔定理, 无论我们构造出多么复杂的理论, 它都有一个表述的形式系统, 但在这个系统内都有一个不可证的公式, 这个公式不能作为定理在该系统内被推导出来。但是这种形式化 (人类的理性认知形式) 的不能证明性, 是否就意味着认知本身的不可能和不正确呢?

哥德尔定理正是揭示了足够大的理论不能被完全形式化, 因而人类不可能将其所有知识形式化, 总有某些知识在形式系统中是无法表达的。但是, 不能形式化并不意味着不正确, 不意味着不可知。理性并不永远存在于形式化之中。我们仍然有其他方法判断真理。逻辑的进化表现了人类智能的进化。人类的认知一直处于进化之中, 甚至哥德尔定理本身也是它的一个结果。纵观科学发展史, 人类总是在不断突破认知的限度。人工智能或人类智能的极限并不是绝对的, 在一个动态的发展过程中, 我们在每个阶段所看到的极限都不相同。我们不能证明哪里是思维无法把握之处, 如果可证, 那么它就不是。

结语

通过以上分析可以看到, 正确看待哥德尔定理, 对于我们把握学术方向、坚持科学发展是非常重要的。逻辑认知是一种理性的实证思维方式。在具体的科学实践当中, 理性思维与直觉思维总是互相补充、共同构成人类认知行为的。理性之花也需要直觉的土壤, 如果没有哥德尔的直觉洞察力, 就不会产生哥德尔定理。科学研究的过程, 是一个起于直觉, 经由理性, 再到直觉, 再理性以至无穷的过程。该过程表明, 人类认知是一个直觉与理性辩证统一的过程。

在科学哲学中, 任何科学理论都是相对真理, 那么, 哥德尔定理也不例外。从逻辑的观点看, 哥德尔定理的成立是有条件的, 它不会在所有可能世界里必然成立。我们不应该把它绝对化甚至滥用。哥德尔定理揭示了形式系统的局限性, 从而也揭示了人工智能和人类智能的局限性。但哥德尔定理并未制约人类理性认知的发展, 而是更新了人们进行科学研究的方法和观念, 人类思维的上向性使理论系统不断通过进化来克服现存的问题。从弗雷格到希尔伯特再到哥德尔, 人类在认知进化的艰难旅途上已走得那么遥远, 他们为人类建立了一种理性认知的模式, 其深远意义至今还在影响着我们。

参考文献

[](1) 朱水林, 哥德尔不完全性定理 (M) , 辽宁教育出版社, 1987, p.3.

[](2) Franzén, Torkel 2005, Gdel's Theorem:An IncompleteGuide to Its Use and Abuse (M) , Wellesley, Mass:AK Pe-ters, pp.88-89.

[](3) Gdel Kurt, 1962 (1931) , On Formally Undecidable Propo-sitions of Principia Mathematica and Related SystemsⅠ (M) , translated by B.Meltzer, introduction by R.B.Braithwaite, New York:Dover Publication.

[](4) 陈慕泽, 正确理解哥德尔不完全性定理, 湖南科技大学学报 (社会科学版) (J) , 2008.02.

(5) 唐方方, 哥德尔定理的意义 (D) , 清华大学硕士论文, 2005.

[](6) Wittgenstein, Ludwig., Remarks on the Foundations ofMathematics, Herausgegeben und Bearbeiter von G.H.von Wright[M].Oxford:Basil Blackwell, 1956.

[](7) 庄朝晖, 基于直觉主义对哥德尔定理的评论——从维特根斯坦的评论开始, 厦门大学学报 (哲学社会科学版) (M) , 2008.02.

[](8) 蔡曙山, 论形式化, 哲学研究 (J) , 2007.07.

[](9) 桂起权, 任晓明, 进化逻辑:科学发展的动态模式 (J) , 《哲学动态》2002.02.

[](10) 蔡曙山, 认知科学背景下的逻辑学 (J) , 《江海学刊》, 2004.06.

(11) 刘晓力, 人工智能的逻辑极限, 《哲学动态》 (J) , 2001, 增.

[](12) 董世锋, 大直觉观——理性与直觉的一种关系模式 (J) , 重庆社会科学, 2006.04.