【综合篇】统计工具中敏感度分析指标解析 - 单因子方差分析，完全嵌套方差分析，回归分析，实验设计，测...
近两天专门研究了敏感度分析的指标，1月17日《》简单解释了蒙特卡罗分析中用到的五个指标（Palisade公司出品的@risk软件中的敏感度分析指标），1月18日研究受阻，发现敏感度分析指标没那么简单，它牵扯到固定效应和随机效应，所以，1月18日专门解释了固定效应和随机效应以及六西格玛的核心思想《》，其中花了两大段解释了简单回归模型，多元回归模型，文中提到：如果我们掌握了影响响应的所有因子在所有水平上的信息以及因子与响应的完备的传递函数，那么这个响应就不是不确定的了，而是确定了。事实是我们无法掌握有关特定响应的所有信息，无论是时间、技术还是认知等的限制，我们真的无法掌握所有。所以响应还是不确定的，是有着某种分布的。谁能掌握所有信息，我们的老天爷，西方的上帝。但他们也是虚无缥缈的，所以没有人能掌握。
非常感谢杨利波老师、张自达老师以及《DFSS共创社-攻克缺陷》微信群的群友们，没有他们，这三篇文章也不会出笼。这篇文章将就这个话题做一个总结，敏感度分析指标在统计工具中的分布情况见篇首图片。接下来以案例呈现的形式讲解固定效应、随机效应、回归系数以及方差分量贡献度在表中除蒙特卡罗分析以外的统计工具中的应用。
一、特别注意 -（固定效应与回归系数）
根据效应的定义：因子某水平下的效应等于此水平下响应均值与因子所有水平下响应总均值之差，从这个定义，我们可以得出经典线性回归模型中的系数等同于效应，两者在数值上是相等的，譬如y=3+2x+ε，因子x在所有水平下的效应都等于2。实验设计中的效应似乎与这个有所冲突，实验设计中的效应是指因子高水平对应的响应均值与低水平下对应的响应均值之差，而代码化的高水平为1，低水平为-1，中心点为0，大家可以发现全因子实验设计中的代码化的回归方程中的项的系数是效应的一半，这一点尤其需要注意。也就是即使是固定效应，经典线性回归中的效应的定义与实验设计中的效应的定义是不一样的，这导致回归系数与固定效应之间是否等值的问题。
二、单因子方差分析
某化学工程师想要比较四种油漆混料的硬度。每种油漆混料取六份样品涂到一小块金属上，待金属块凝固后再测量每种样品的硬度。为了检验均值是否相等，并评估均值对之间的差分，分析师配合使用单因子方差分析和多重比较。
化学工程师获得数据结果如2-1所示：
2-1油漆，油漆后样板，硬度数据
Minitab中单因子方差分析的结果如2-2所示。从图中我们并没有看到方差分量贡献度，也没有看到效应。但从Tukey配对比较中我们看到了配方4对应的油漆硬度均值和配方2对应的油漆均值明显的不在一个档次，也就是配方的这两个水平下的油漆均值在95%的置信度下有明显的区别，这暗含了固定效应的概念。
图2-2 单因子方差分析结果
为了获得固定效应，我们对化学工程师获得的油漆硬度的数据格式进行重组以EXCEL表格的形式来计算固定效应的估计值，如图2-3所示。从图中可以看出配方2对应的固定效应最小（为-5.02），配方4的固定效应最大（为4.48），再次强调这个地方的效应是各水平下的总体效应估计，不是各水平下的总体效应。
化学工程师可以根据图2-2和2-3的信息进行决策，如果期望硬度高点，采用配方1，3，4，如果期望硬度低点，采用配方2，3，4。
图2-3固定效应计算
三、完全嵌套方差分析
一位制造工程师想要了解玻璃罐生产中的变异源。工程师所在的公司在四个地方生产玻璃罐。四名操作员在四个地方测量了四个班次的三个批次的炉温。
每个工厂的操作员是不同的，因此操作员因子嵌套在工厂因子中。虽然每个班次编号表示工作日的同一部分，但是每个操作员在同一工厂的班次是不同的。因此，班次嵌套在操作员中。此外，操作员使用的材料的批次会随着班次的变化而变化。因此，批次嵌套在班次中。制造工程师采用了完全嵌套方案。
制造工程师获取的数据如图3-1所示。由于数据较多，似乎看不出规律，需要用方差分析得到一些规律性的结论。
图3-1 炉温变异源数据
Minitab中完全嵌套方差分析的结果如图3-2所示。由于工厂、操作员、班次以及批次都是在其可能水平集合中随机抽取，由此可以看出，各因子的效应是随机效应。从图中看出，批次“总和的%”最大，为51.80%，制造工程师可能需要重点关注批次的变异。“总和的%”是在方差分量栏目下，这其实就是方差分量贡献率的概念。
图3-2完全嵌套方差分析结果
四、经典回归分析
研究化学家想要了解多个预测变量与棉布抗皱性的关联性。化学家检查 32 件在不同的凝固时间、凝固温度、甲醛浓度和催化剂比率下生产出的棉纤维素。对每件棉布都记录了耐压等级（用来度量抗皱性）。
研究化学家获得的原始数据如4-1所示。
研究化学家进行了多元回归分析以获取预测变量和响应之间的模型，在实施的过程中删除了对响应不显著的因子。Minitab中多元线性回归分析结果如图4-2所示。从图中我们没有看到方差分量，这是因为经典的多元线性回归分析中各预测变量在各水平下的效应是固定效应，预测变量浓度对抗皱性的效应估计为0.1548，也就是此项对应的回归系数。如果这个地方的系数不是估计而是各个预测变量的实际系数的话，那么比率这个预测变量的固定效应最大，达到0.2161。后面的P值的原假设是系数=0，不是系数等于其他某个数值，不能仅仅看P值，还要看系数，也就是效应估计。
图4-2棉布抗皱性回归分析结果
五、实验设计
某家建材产品制造商的材料工程师正在开发一种全新的绝缘产品。该工程师设计了一个 2 水平全因子试验，以评估可能会影响绝缘的强度、密度和绝缘值的多个因子。
工程师分析一个因子设计，以确定材料类型、注塑压力、注塑温度和冷却温度如何影响产品的绝缘强度。
材料工程师实验后获得的数据如图5-1所示。
图5-1 绝缘强度数据
Minitab中实验设计的分析结果如图5-2所示。从图中并没有看到方差分量的栏目，有方差分析，方差分析的目的是模型是否显著。从图中还看到已编码系数的表中出现了效应和系数两个指标，而且发现效应是系数的两倍。本文回归分析中谈到的效应值等于系数值的规律在实验设计时不适用，因为实验设计中的效应是因子从低水平到高水平变化时对应的响应的均值之差，而此处的低水平对应-1，高水平对应1，因为全因子或部分因子设计中建立的模型为线性模型，所以系数为效应的一般，一位高水平和低水平的跨距为2。
图5-2 绝缘强度实验设计分析结果
六、测量系统分析
某工程师选择了 10 个代表过程变异预期变异的部件。三名操作员按照随机顺序测量 10 个部件，每个部件测量三次。
此工程师执行交叉量具 R&R 研究来评估因测量系统导致的测量值的变异性。
工程师收集到的测量数据如图6-1所示。
图6-1 GR&R 研究数据
工程师在Minitab中进行了GR&R研究分析后，得到的结果如图6-2所示。终于看到了方差分量贡献率。出现了方差分量贡献率，就说明因子在各水平下的效应为随机效应，GR&R研究时，3个操作员是从所有操作随机抽取的，也就是因子的水平数不代表因子的所有可取水平数。从图中可以看出，量具的方差贡献率为7.76%，部件间的方差分量贡献率达到92.24%，这可以说明部件间变异是合计变异的主要变异。但此量具是否可用，还要看量具评估中的%变异研究和&公差，此处的重点不在于判定零件合格，而在于产品是否得到改进。所以看%变异研究，合计量具的%变异研究达到了27.86%，如果这个特性是非常关键的特性，那么此测量系统暂时不可用，因为已经超过了指南中的10%。总体而言，需要对此测量系统进行改进或换测量系统。
图6-2GR&R分析结果
至此，我们已经分析了敏感度分析指标在单因子方差分析、完全嵌套方差分析、经典线性回归分析、实验设计以及测量系统分析中的应用。再回顾下应用分布图。
期望本文对各位同仁有一定的贡献，一起学习，一起成长，未来更美好。
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