信号与系统：冲击函数匹配法是如何求解0-到0 状态的跳变值的？
最近在给大三本科学生讲授信号与系统课程中，学生普遍反映0-到0+状态的跳变值不会求，继而零状态响应不会求，这是冲激函数匹配法没有搞懂。
查阅资料中，网上解释的也很凌乱，没有系统性的回答，很多学生仍然很迷茫，既然没有人解决，那就宝刀君亲自操刀做这个苦活累活吧！
今天宝刀君重点就解决此问题，希望备考专业课《信号与系统》的学生，读完有所收获，谢谢！
以下是知乎对应回答：
和楼主一样，我也在学习过程中遇到了类似的问题。
经过一番查找思考摸索，宝刀君觉得对该问题有了新的认识，今天就不请自来，将我近期对于此问题的研究结论写下来，供大家学习时参考。
这是在查找“冲击函数匹配法”时，发现大多数学生都有疑问，请看如下图：
该问题截止到2020年3月13日仍然无人解答
下面，我将阐述自己对于此问题的理解，可能有点长，但还是希望大家耐心阅读：
宝刀君将从以下几个方面展开讲解，分别是：
1、为什么会产生跳变？（冲激函数匹配法是为了解决什么问题）
2、冲击函数匹配法和奇异函数平衡分别是什么？有什么关系？
3、冲击函数匹配法的理论基础是什么？
4、冲激函数匹配法的应用（典型例题讲解：理论推演+步骤解析计算）
1、为什么会产生跳变？
大家不放思考下，冲激函数匹配法这个词，我们是在学习什么知识点时听到的呢？它是为了解决什么问题引入的呢？
没错，就是为了解决《信号与系统》课程中“0-状态到0+状态时，系统会不会发生跳变”时引入的！
那么，一个系统，会不会发生跳变？
说的完整一些，一个系统，在加入信号后，系统的状态会发生跳变吗？
以一个简单电路为例：
系统在加入阶跃信号前，Uc(0-)=0，即系统起始状态为0、储能为0。
对a图而言，系统加入阶跃信号后，开始慢慢给电容充电，于是电容两端的电压逐步从0开始增大。对b图而言，系统加入阶跃信号后，由于电容两端电压不能突变，于是在0时刻电阻R两端的电压就是输入信号的电压值，然后电容开始慢慢充电，电阻两端的电压逐步被分压，开始慢慢减小。
以上这个电路说明什么呢？
说明信号的状态是会受到输入信号的影响的，说明在输入信号有跳变的时候会引起输出信号在零点前后的突变。
说到这里，
有些学生可能不大喜欢这种分析思路，
那宝刀君尝试用常见公式解释下。
电容两端的电压公式，这个想必大家都不陌生吧？
我们把上面这个式子改写下，写为：
接下来，当我们取t=0+时，则上式变为：
其中第1项就是Uc（0-），代表的是在加入信号之前系统的状态（初始储能）。第2项代表从0-到0+状态是否有跳变。第3项计算出来是0，为啥呢？因为第3项此时的上下积分限一致，则积分为0。
注意，此时一定产生跳变吗？
未必！
还要看什么？
要看第2项的被积函数是连续的还是间断的！
如果ic（t）是连续的，例如取e^2t，连续函数在0-到0+区间不会发生跳变，积分为0。但如果ic(t)是不连续的函数，是存在有间断点的函数，则就要发生跳变了。此时0-和0+之间差一个第2项积分。
一般来讲，当电路中存在冲激电流、阶跃电压，或者说冲激电压、阶跃电流这样的激励信号时，系统在0-到0+的状态就会发生跳变。
那么这种跳变值怎么求呢？
冲激函数匹配法就是为了解决这个问题诞生的，即通过已知0-状态值求0+状态值。这就是冲击函数匹配法的引入背景。
2、冲击函数匹配法和奇异函数平衡分别是什么？有什么关系？
其实，冲击函数属于奇异函数中的一种。
什么叫奇异函数呢？
郑君里教授的信号与系统第3版课本里给出了这样的定义：函数本身有不连续点（跳变点）或其导数与积分有不连续点的情况，这类函数称为奇异函数或奇异信号。
在《信号与系统》课程中，我们需要重点研究哪些奇异函数呢？
常见的是下面这些：阶跃信号、冲激信号、冲激信号的一阶导（冲激偶信号）、冲激信号的二阶导。
我们关心的，是这几个奇异函数信号在0-到0+之间的关系，如下（这里参考的是清华大学卓晴老师的课件）：
上面这个图，
根据教学实际情况看，
好多学生不明白为什么阶跃函数在0-到0+区间积分为0？
其实很好理解，因为阶跃函数是有上下界的函数,也就是有限值。而积分区间从0-到0+,这是长度为零的区间，有限值在长度为零的区间上积分当然为0。
除了上面这三个式子，我们还要定位一个新的函数，它长得跟阶跃函数很像，但却不是阶跃函数，它叫做“相对单位跳变函数”，即：
这个函数特殊的地方在于：它的定义域很窄，只是描述0-到0+这个区间，也就是只描述零点附近。
它的性质有2个，分别是：
相对单位跳变函数的第1条性质，说明该信号经过积分，在0点附近就变成连续信号了，积分值为0。
相对单位跳变函数的第2条性质是说：如果在零点附近存在冲激信号，信号做积分后在零点会存在这种跳变，一个△u(t)就是 一个单位的 相对单位跳变量。
注意了，相对单位跳变函数，它在我们用冲激函数匹配法中，会反复的用到！！
以上讲解，你已经明白冲击函数和奇异函数之间的关系了，那么冲击函数匹配法和奇异函数平衡法，也没多大的区别。冲击函数匹配法就是奇异函数平衡法中的一种，你要是把冲击函数匹配法叫做奇异函数平衡，也没啥问题。
事实上，冲击函数匹配法，也称作奇异函数匹配法、冲击函数配平法，都一个意思，就是指的方程两端的函数前面的系数要保持相等。
举个简单例子：
上面这个式子，通过左右两端对比，你肯定可以秒算出来a,b,c的值，这其实就是所谓的冲击函数匹配法。
说白了，就是方程两端对应项相等。
我们以前用的是x^2类似这样的式子，而现在只不过是换成了冲击函数，或者冲击函数的导数，现在让这些函数前面的系数两端保持相等就行了。
3、冲击函数匹配法的理论基础是什么？
冲击函数匹配法的理论基础有2个，一个是对于描述系统的微分方程，冲激函数的引入解决了函数在跳变点处导数的存在问题，从而使得微分方程在整个时间域内都成立。二是由于冲激函数的存在，意味着输出项的各阶导数中，有些在0点附近有跳变，根据这些跳变量，我们可以很方便的来求系统的零状态响应的解。
理论基础这里，初学者可以暂且不管，待学习完双零响应（零输入响应、零状态响应）后，再回来重温体会。
4、冲激函数匹配法的应用
下面讲讲具体的冲击函数匹配法的求解过程。
在利用冲击函数匹配法做的过程中，首先将激励信号：冲激信号代入到微分方程的右端，确定冲激信号的最高微分阶次k，据此可推出方程左端的最高微分项也应该包含冲激信号的k次导数项，写出它的一般式，然后依次在0-到0+上做积分，一步一步写：
我们平时遇到的题目中，有时候左右两端的阶次都告诉你了，这里面n代表左端输出项的微分阶次，右端k代表冲激函数的最高微分阶次，n和k的大小关系分3种情况：
n>k时，积分到最后，系统输出项r(t)中不会包含阶跃函数，就变成连续函数在0-到0+上积分，结果为0。
n=k时，则输出信号r(t)包含相对跳变函数项/相对跳变阶跃项。
n 我们以1道简单的例题，分别用理论推导和算式推导的思路讲解。 这道题，估计很多初学者在学习这个知识点时，都碰到过，也算是老熟人了。 我们先用理论分析的思路说下过程，先上图： 分析过程如下： 根据右端有一个冲激导数项，则可知左边的最高次里含有冲激偶，是3个冲激偶，这是箭头1。 根据3个冲激偶，可知原函数里有3倍的冲激项，又因为前面有系数3，故是r(t)中有9δ（t），这是箭头2。 又因为r(t)中有9δ（t），而左端却没出现δ（t），则左端dr(t)/d(t)中需要提供补偿，或者说要配平，或者说是匹配，匹配一个-9δ（t）就可以了，这就是箭头3。 因为此时dr(t)/d(t)中含有-9δ（t），则说明r(t)中有相对跳变函数 。 此时， 则直接看跳变函数项前面的系数即可，说明： 看到这里，估计有相当一部分学生会问：“老师，这不对吧？冲击函数做积分，应该是阶跃函数啊，你这里怎么写的是相对单位跳变函数呢？” 问的很好，但其实不是这样。 假如是u(t)，则方程左端就多了一项阶跃信号，这样两端就不相等了，不平衡了。这里的跳变函数只是代表“因为我的式子里存在-9δ（t），所以我的原函数在0-到0+这里会产生一个跳变”。简言之，因为存在冲激信号，所以这里要产生跳变，我们只关注的是0-到0+这小区间。 以上，是理论分析的思路，方程微分阶次低的时候，可以简单分析，但是一旦微分阶次大于2、系数很大时，这种理论分析的思路就有点低效率了，我们得换到解析式推导的步骤中。 下面我们动手用冲击函数匹配法的做题过程写下： 上图，就是利用冲击函数匹配法求解的过程，简单清晰！！！ 这里呢，清华大学卓晴老师在学堂在线的信号课程上讲到这里时，是这样写的： 卓晴老师课件上出现了相对单位跳变函数项的原函数，他写为cf(t)，虽然是这样写的（可能会引起误导），但是卓老师在讲课过程中明确讲了：“这一项为0，可以省略了”。 为什么为0？为什么可以省略呢？ 宝刀君在本文前面讲述相对单位跳变函数的第1条性质时，已经说清楚了，读者朋友可以翻看。 因此，完整的冲击函数匹配法的解题过程，就是宝刀君附的图。 结束了吗？ 并没有哦~ 通过这道题，我们还可以总结出什么呢？比如上面的例题中b和c分别代表什么呢？我们在利用冲击函数匹配法求解0+状态的值时，主要观察哪个量呢？ 我们主要观察相对单位跳变函数项前的系数就可以了！ 比如这里的b代表的是r(t)的0-到0+的跳变量，c出现在r(t)的一阶导数中，则c代表的是r'(t)在0-到0+的跳变量。 明白了吗？ 求0-到0+的跳变值，重点看相对单位跳变函数项前的系数就可以了~~ 你可以把上面这个话记为一个结论。 趁热打铁，再来看一道例题吧，看懂的学生，你不妨拿出笔和纸试着演算下： 这个题中，我省略了左边项全部相加的过程，最后得到了a，b的值。 刚才讲了，是否有跳变，我们只需要看此时的函数中是否有相对单位跳变函数项的系数就行，如果有，则系数为该阶次对应的0-到0+状态的跳变值，如果没有，则该阶次的函数在0-到0+不发生跳变。这个题里，y(t)=0，没有跳变函数项， 因此y(0+)=y(0-)。 ************ 总结一下， 宝刀君回答了以下4个问题： 1、为什么会产生跳变？（冲激函数匹配法是为了解决什么问题） 2、冲击函数匹配法和奇异函数平衡分别是什么？有什么关系？ 3、冲击函数匹配法的理论基础是什么？ 4、冲激函数匹配法的应用（典型例题讲解：理论推演+步骤解析计算） 1、2、3大家理解了就OK。 重点是掌握4，因为后续再学习零状态响应的时候，我们还需要运用冲击函数匹配法来求解0+时刻的初始值。 读者朋友可以运用今天所讲的内容、操作手法， 回去对照课本例题练下手，相信就能很快掌握了~ 加油啦~~~ 重要提醒： 宝刀君近期将公众号的菜单栏做成了列表模板样式，方便读者朋友们，尤其是考研的学生翻阅查看，比如你打开菜单栏的自动控制，可以看到所有书写的知识点历史文章都在上面了：
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