巧用旋转解题
【例题讲解】
一、当条件中出现“邻边相等+对角互补十半角”
二、当条件中出现“邻边相等+半角”
【解题思路】
分析题意可知∠BAP+∠CAQ=30°,充分利用这一点是解答本题的关键.思路一:可以将△BAP绕点A逆时针旋转60°,使AB与AC重合,设点P的对应点为P',过点P'作BC的垂线,利用特殊角和勾股定理,求出线段P'Q的长;然后证明△QAP'≌△QAP,得到线段PQ的长,进一步得到线段AB的长.思路二:可以将△BAP沿直线AP翻折得△B'AP,连接B'Q,证明△B'AQ≌△CAQ,从而发现△B'PQ中,∠PB'Q=120°,PB'=2,QB'=3,可求线段PQ的长,进一步得到线段AB的长.
【点评】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识;熟练掌握等边三角形的性质,证明三角形全等是解题的关键.
三、当条件中出现“邻边相等+对角互补”
四、仅有“邻边相等”
【巩固练习】
【解析】
如图,将△APC绕点A顺时针旋转60°得到△ABE,连接PE,只要证明PA、PB、PC为边组成的三角形就是△PEB,再求出其内角即可.
【点评】
本题考查等边三角形的性质、旋转的性质,利用旋转添加辅助线是解决问题的关键,属于中考常考题型.
【解析】
根据旋转性质可得∠APB=∠CP'B=135°、∠ABP=∠CBP'、BP=BP'、AP=CP',由∠ABP+∠PBC=90°知△BPP'是等腰直角三角形,进而根据∠CP'B=135°可得∠PP'C=90°,设BP=BP'=a、AP=CP'=b,在RT△PP'C中根据勾股定理可得CP'=v(9-2a2),最后由BP的长a为整数可得AP.
【点评】
本题主要考查旋转的性质、等腰直角三角形、勾股定理等知识点,熟练运用这些性质、定理得出a、b间的关系式是关键.
【点评】
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识,解题的关键是添加辅助线构造全等三角形、学会利用分割法解决问题,属于中考填空题中的压轴题.
【解析】
首先过点D作DF⊥CA,垂足F在CA的延长线上,作DG⊥CB于点G,连接DA,DB,由AB为O的直径,∠ACB的平分线交O于点D,可证得Rt△AFD≌Rt△BGD(HL),Rt△CDF≌Rt△CDG(HL),则可得AC+BC=CF-AF+AG+BG=CF+CG=2CF,△CDF是等腰直角三角形,继而求得答案.
【点评】
此题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质.能准确作出辅助线,借助于方程求解是解此题的关键.
【点评】
本题主要考查圆周角定理,全等三角形的判定及勾股定理,难度适中.
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