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中考数学压轴题分析：旋转与手拉手

本文内容选自2021年济南中考数学几何压轴题。以共底角顶点的两等腰直角三角形为背景，考查相似三角形的判定与性质。题目设计比较巧妙，值得研究。

【中考真题】

（2021·济南）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边BC上，BDBC，将线段DB绕点D顺时针旋转至DE，记旋转角为α，连接BE，CE，以CE为斜边在其一侧作等腰直角三角形CEF，连接AF．
（1）如图1，当α＝180°时，请直接写出线段AF与线段BE的数量关系；
（2）当0°＜α＜180°时，
①如图2，（1）中线段AF与线段BE的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，当B，E，F三点共线时，连接AE，判断四边形AECF的形状，并说明理由．

【分析】

（1）先猜测再证明，观察易得存在√2倍数的关系。BC与EC分别为AC与FC的√2倍，所以结论易得。

（2）①通过观察，可以发现结论并没有发生变化。但是此时形状发生了变化，应该怎么证明呢？通过观察BE与AF所在的三角形，可以发现△BEC∽△AFC，进而得到结论即可。本质就是相似三角形的判定与性质。

②先猜测再证明。观察先猜测四边形的形状，可能是平行四边形。由于相似的关系存在，因此容易得到∠CAF=∠ACE，进而得到AF与CE平行。如果可以证明AF与CE相等即可。也就是需要证明AF=√2EF。这也是本题的难点。

过点D作BF的垂线，可以得到一组A字型的相似，再在△BDE中利用三线合一进行处理，最终得到结论。

【答案】解：（1）如图1，当α＝180°时，点E在线段BC上，

∵BDBC，
∴DE＝BDBC，
∴BD＝DE＝EC，
∵△CEF是等腰直角三角形，
∴∠CFE＝∠BAC＝90°，
∵∠ECF＝∠BCA＝45°，
∴△ABC∽△FEC，
∴，
∴，
∵BCAC，
∴，
∴，即，
∴·；
（2）①仍然成立.
理由如下：
如图2，∵△CEF是等腰直角三角形，
∴∠ECF＝45°，，
∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠BCA＝45°，，
∴∠ECF＝∠BCA，，
∴∠ACF+∠ACE＝∠BCE+∠ACE，
∴∠ACF＝∠BCE，
∵，
∴△CAF∽△CBE，
∴，
∴仍然成立．

②四边形AECF是平行四边形．
理由如下：
如图3，过点D作DG⊥BF于点G，
由旋转得：DE＝BDBC，
∵∠BGD＝∠BFC＝90°，∠DBG＝∠CBF，
∴△BDG∽△BCF，
∴，
∵BD＝DE，DG⊥BE，
∴BG＝EG，
∴BG＝EG＝EF，
∵EF＝CF，
∴CF＝BGBF，
由①知，AFBEBGCF＝CE，
∵△CAF∽△CBE，
∴∠CAF＝∠CBE，∠ACF＝∠BCE，
∵∠CEF＝∠CBE+∠BCE＝45°，∠BCE+∠ACE＝∠ACB＝45°，
∴∠CBE＝∠ACE，
∴∠CAF＝∠ACE，
∴AF∥CE，
∵AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形．

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