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中考数学压轴题分析：定角定弦、瓜豆模型与动点轨迹问题

本文内容选自2021年连云港中考数学压轴题。题目考查动点轨迹问题，为大家常说的瓜豆模型。题目比较常规，值得研究。

【中考真题】

（2021·连云港）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．
（1）是边长为3的等边三角形，是边上的一点，且，小亮以为边作等边三角形，如图1．求的长；

（2）是边长为3的等边三角形，是边上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图2．在点从点到点的运动过程中，求点所经过的路径长；

（3）是边长为3的等边三角形，是高上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图3．在点从点到点的运动过程中，求点所经过的路径长；
（4）正方形的边长为3，是边上的一个动点，在点从点到点的运动过程中，小亮以为顶点作正方形，其中点、都在直线上，如图4．当点到达点时，点、、与点重合．则点所经过的路径长为　　 ，点所经过的路径长为　 　．

【分析】

（1）根据SAS即可得到结论。

（2）有了（1）中的结论，那么本题就可以考虑用上面的方法证明全等，然后根据对应边相等求出路径长。

（3）还是与前面的类似，找到全等即可，可以先确定起点与重点，容易找到对应的三角形全等。

（4）根据图形，连接CH，可以发现△ABF≌△CBH，那么就可以得到CH与AF相等的。因为点F、G都在AE上，说明∠AFB=90°始终不变，那么点F的轨迹为以AB为直径的圆弧，同样可以得到点H的轨迹为BC为直径的圆弧。

易得AG⊥CH，AH⊥GH，那么可以得到C、G、H三点共线，那么∠AGC=90°，点G的轨迹为AC为直径的圆弧。那么确定起点与终点即可得到结论。
【答案】解：（1）如图，和是等边三角形，
，，，
，
，
，
；
（2）如图2，连接，

由（1），
，，
，
，
，
又点在点处时，，
点在处时，点与点重合．
点运动的路径长．
（3）如图3，取的中点，连接，

，
，
，
，
，
和是等边三角形，
，，
，
，
，
，，
，
又点在处时，，
点在处时，点与点重合．
点所经过的路径的长；
（4）如图，连接，，相交于点，取的中点，的中点，连接，，

，
点的运动轨迹为以点为圆心，长为半径的圆上；
，
，即，
，
，
点在以点为圆心，长为半径的圆上；
当点在处时，点，，重合，点和点重合；
当点在点处时，点和点重合，点与点重合；
连接，，

由上证明可得，，
，
点，，三点共线，
，
点是的中点，
是斜边中线，
点在以点为圆心，长为半径的圆上；
点所经过的路径长；
点所经过的路径长．
故答案为：，．


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