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中考数学压轴题分析：正方形十字模型

本文内容选自2021年福建省中考数学压轴题，题目涉及正方形的十字模型．题目比较典型，难度中等．

【中考真题】

（2021·福建）如图，在正方形ABCD中，E，F为边AB上的两个三等分点，点A关于DE的对称点为A′，AA′的延长线交BC于点G．
（1）求证：DE∥A′F；
（2）求∠GA′B的大小；
（3）求证：A′C＝2A′B．

【分析】

1）设AG与DE的交点为O，易得点O为AA′的中点，点E为AF的中点，可以得到OE是中位线，因此结论成立．
（2）先猜测再证明，由（1）可得∠AF′G＝∠FBG＝90°，那么点F，B，G，A'四点共圆，连接GF，可以得到∠GA′B＝∠GFB＝45°．
（3）根据两边对应成比例且夹角相等证明△A'FB∽△A'GC，得到相似比为1:2即可．

【答案】

解：（1）如图，设AG与DE的交点为O，连接GF，

∵点A关于DE的对称点为A′，
∴AO＝A'O，AA'⊥DE，
∵E，F为边AB上的两个三等分点，
∴AE＝EF＝BF，
∴DE∥A'F；
（2）∵AA'⊥DE，
∴∠AOE＝90°＝∠DAE＝∠ABG，
∴∠ADE+∠DEA＝90°＝∠DEA+∠EAO，
∴∠ADE＝∠EAO，
在△ADE和△BAG中，

， ∴△ADE≌△BAG（ASA），
∴AE＝BG，
∴BF＝BG，
∴∠GFB＝∠FGB＝45°，
∵∠FA'G＝∠FBG＝90°，
∴点F，点B，点G，点A'四点共圆，
∴∠GA'B＝∠GFB＝45°；
（3）设AE＝EF＝BF＝BG＝a，
∴AD＝BC＝3a，FG a，
∴CG＝2a，
在Rt△ADE中，DE a＝AG，
∵sin∠EAO＝sin∠ADE，
∴ ，
∴ ，
∴OE a，
∴AO a＝A'O，
∴A'G ，
∵AO＝A'O，AE＝EF，
∴A'F a a，
∵∠FA'G＝∠FBG＝90°，
∴∠A'FB+∠A'GB＝180°，
∵∠A'GC+∠A'GB＝180°，
∴∠A'FB＝∠A'GC，
又∵ ，
∴△A'FB∽△A'GC，
∴ ，
∴A′C＝2A′B．

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