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中考数学压轴题分析：倍长中线

本文内容选自2021年丹东中考数学几何压轴题。以正方形为背景考查半角模型，构造旋转辅助线证明结论。模型比较常规，问法比较新颖。

【中考真题】

（2021·丹东）已知，在正方形中，点、为对角线上的两个动点，且，过点、分别作、的垂线相交于点，垂足分别为、，设的面积为，的面积为，的面积为．

（1）如图（1），当四边形为正方形时，
①求证：；
②求证：．
（2）如图（2），当四边形为矩形时，写出，，三者之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若，请直接写出的值．

【分析】

（1）①根据AAS或者ASA进行证明全等即可。

②由于等腰直角三角形的面积为斜边平方的一半，那么求证S3=S1+S2，也就是证明AM、MN、NC之间的数量关系即可。这个就是典型的45°半角模型，可以考虑将△BNC或△AMB进行旋转，当然，也可以考虑其他的辅助线构造方式，如翻折等等。

（2）由于∠MBN=45°，所以结论始终成立，证法不变。

（3）已知BG与GC的比值，那么求AF与FB的比值就需要m与n进行表示。可以直接设BG=m，GC=n，然后表示出边长BC与AB，设AM为x，表示出MN，再用上题的结论进行化简，得到AF与m、n之间的关系。进而得到结论，难度不大。
【答案】解：（1）①在正方形和正方形中，
，，，，
，
即，

②证法1：如图1，连接，则过点，且，，
由①知，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
同理，
，，
，
．

证法2：如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，
则，，，，
，
，即、、在同一条直线上，
，
，
，即，
在和中，
，
，
，
，
，即，
和都是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，，，
，
．
（2），理由如下：
证法1：如图2，连接交于点，

四边形是正方形，四边形为矩形，
，，，，
，，
，
，
同理，
，
，
，
，，
，
，，
．
证法2：如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，
则，，，
与（1）②同理可得：，
，
，
，即，
和都是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，，，
，
．
（3）解法1：根据题意可设，，，
，
即，
，
，
．
解法，
设，，
，
设，则，
、和都是等腰直角三角形，
，，，
，
，
化简整理，得：，即，
，
．

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