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八年级|一道手拉手模型探究题

题目展示 以△ABC的AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AE＝AB，AC＝AD，CE与BD相交于M，∠EAB＝∠CAD＝α．

（1）如图1，若α＝40°，求∠EMB的度数； （2）如图2，若G、H分别是EC、BD的中点，求∠AHG的度数（用含α式子表示）； （3）如图3，连接AM，直接写出∠AMC与α的数量关系是　 　． 题目分析 本题是双等线段共端点，且顶角相等，属于手拉手模型，考查全等及拉手线夹角等相关问题！ （1）由“SAS”可证△AEC≌△ABD，可得∠AEC＝∠ABD，由外角的性质可得结论； （2）由“SAS”可证△ACG≌△ADH，可得AG＝AH，∠CAG＝∠DAH，即可求解； （3）由全等三角形的性质可得S △ ACG＝S △ ADH，EC＝BD，由面积法可求AP＝AN，由角平分线的性质可求∠AMD，即可求解． 题目解答 解：（1）∵∠EAB＝∠CAD＝α， ∴∠EAC＝∠BAD， 在△AEC和△ABD中， ， ∴△AEC≌△ABD（SAS）， ∴∠AEC＝∠ABD， ∵∠AEC+∠EAB＝∠ABD+∠EMB， ∴∠EMB＝∠EAB＝40°； （2）连接AG，AH，

由（1）可得：EC＝BD，∠ACE＝∠ADB， ∵G、H分别是EC、BD的中点， ∴DH＝CG， 在△ACG和△ADH中， ， ∴△ACG≌△ADH（SAS）， ∴AG＝AH，∠CAG＝∠DAH， ∴∠AGH＝∠AHG，∠CAG﹣∠CAH＝∠DAH﹣∠CAH， ∴∠GAH＝∠DAC， ∵∠DAC＝α， ∴∠GAH＝α， ∵∠GAH+∠AHG+∠AGH＝180°， ∴∠AHG＝90°α； （3）∠AMC＝90°α． 解法提示： 如图3，连接AM，过点A作AP⊥EC于P，AN⊥BD于N，

∵△ACE≌△ADB， ∴S △ ACE＝S △ ADB，EC＝BD， ∵EC×APBD×AN， ∴AP＝AN， 又∵AP⊥EC，AN⊥BD， ∴∠AME＝∠AMD， ∴∠AMC＝∠AMD+∠DMC＝90°+α．
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