八年级|“数的开方”考点精细解读
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第 11 章 数的开方
11．1 平方根与立方根
知识点1：平方根 1．平方根的 定义 一个数的平方等于 a ，那么这个数叫做 a 的平方根，记作 ： ± （a叫做被开方数） 特别提醒 （1） 求带分数的平方根时，应先将带分数化为假分数； （2） 对于含有乘方运算的数，应先求出它的结果，再求其平方根； （3） 正数的平方根有两个，不要漏写负的平方根 ． 2． 平方根 的 性质： 一个 正数的平方根有两个，且互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根． 3． 开平方： 求平方根的运算叫做开平方． 特别提醒 1． 平方根是开平方的结果； 2． 开平方与平方互为逆运算．
知识点2：算术平方根 1． 定义： 正数a的正的平方根 叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0． 即 a的算术平方根 为 且a≥0 ； 2． 性质： （1） a 的算术平方根 具有 双重 非负性 ， 即： ≥0 ， 且 a≥0． （2）正数的算术平方根只有1个，且为正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根 3 ．重要 公式 ： (1)( )2＝a（a≥0）； ． (2) ＝| a | 4． 11 ~ 20的平方 ： 11 2 =121 ， 12 2 =144 ， 13 2 =169 ， 14 2 =196 ， 15 2 =225 ， 16 2 =256 ， 17 2 =289 ， 18 2 =324 ， 19 2 =361 5．算术平方根的近似值： ≈1．414， ≈1．732 ， ≈2.236 等
知识点3：立方根 1． 定义 如果一个数的立方等于 a ，那么这个数叫做 a 的立方根， a 的立方根记作 （a叫做被开方数，3叫根指数） 2． 性质 （1） 正数的立方根是1个正数；负数的立方根是1个负数；0的立方根是0． （2）立方根等于本身的有3个，分别±1，0； 3．常用的 公式 （1） ； （2） ； （3） ； 特别提醒 (1)非负数 a 的平方根是± √a，算术平方根是√a.(2)不要把“√ a ” 当做是 a 的平方根． (3)只有非负数才有平方根，但任意实数都有立方根．
11．2 实数
知识点1：无理数 1． 无理数：无限不循环的小数． 2． 无理数的三种常见类型 ①根号 型 ； ② 型 ； ③有规律但不循环的无限小数，例如： 1．010010001···（ 每两个 1 之间依次增加一个0）
知识点2：实数的分类 1． 实数： 有理数和无理数统称为实数． 2． 按定义分类：
3． 按正负性分类：
知识点3：实数与数轴上的点的关系 1．数轴上的任一点必定表示一个数，即它所表示的数，不是有理数，就是无理数；反之，每一个实数（有理数或无理数）也都可以用数轴上的点来表示，即 实数与数轴上的点一一对应． 2． 实数 的 大小 比较 ： （1）正数> 0 > 负数； （2）两个负数相比，绝对值大的反而小；绝对值小的反而大 ； （3）数轴上不同的点表示的数，右边点表示的数总比左边的点表示的数大． （4） 求差比较法 设 a ， b 是两个任意实数，则 a － b ＞0 ⇔ a ＞ b ； a － b ＝0 ⇔ a ＝ b ； a － b ＜0 ⇔ a ＜ b ． （5） 求商比较法 设 a ， b 是两个正实数，则 ab ＞1 ⇔ a ＞ b ； ab ＝1 ⇔ a ＝ b ； ab ＜1 ⇔ a ＜ b ． （6） 平方比较法 设 a ， b 是两个负实数，则 a 2 ＞ b 2 ⇔ a ＜ b ；推论： a ＞ b ⇔ a 2 ＞ b2 ( b ≥0)．
知识点4：实数的运算 1．实数中的相反数、绝对值、倒数的概念和有理数中是类似的 （1） 相反数 定义：只有符号不同的两个数互为相反数，即实数 a 的相反数是－ a ． 性质： (1)若 a ， b 互为相反数 ⇔ a ＋ b ＝0； (2)0的相反数是0； (3)数轴上表示相反数(0除外)的两个点在原点两侧，且到原点的距离 相等 ，即这两个点关于原点对称． （2） 绝对值 定义：在数轴上表示数 a 的点与原点的距离，记作| a |． 性质：一个正实数的绝对值是本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 绝对值具有非负性． （3） 倒数 定义：乘积是1的两个数互为倒数，非零实数 a 的倒数是 ． 性质： ① ab ＝1 ⇔ a ， b 互为倒数； ② 0没有倒数； ③ 倒数等于它本身的数是±1． 2． 实数的运算： 实数与有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，正数及零可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算，而且有理数的运算法则和运算律对于实数仍然适用． 3． 实数的混合运算顺序 ： (1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)有括号的先算括号里面的；(3)同级运算按从左到右的顺序进行计算
知识点5：常见的非负数及其应用 1． 常见的几种非负数： | a |， a 2 n ( n 为正整数)， ． 2． 非负数的应用： （1） 若 a 2 ≤0，则 a ＝0； （2） 若 a ＋| b |＝0，则 a ＝0， b ＝0 ；
第 11 章 数的开方
11．1 平方根与立方根
知识点1：平方根 1．平方根的 定义 一个数的平方等于 a ，那么这个数叫做 a 的平方根，记作 ： ± （a叫做被开方数） 特别提醒 （1） 求带分数的平方根时，应先将带分数化为假分数； （2） 对于含有乘方运算的数，应先求出它的结果，再求其平方根； （3） 正数的平方根有两个，不要漏写负的平方根 ． 2． 平方根 的 性质： 一个 正数的平方根有两个，且互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根． 3． 开平方： 求平方根的运算叫做开平方． 特别提醒 1． 平方根是开平方的结果； 2． 开平方与平方互为逆运算．
知识点2：算术平方根 1． 定义： 正数a的正的平方根 叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0． 即 a的算术平方根 为 且a≥0 ； 2． 性质： （1） a 的算术平方根 具有 双重 非负性 ， 即： ≥0 ， 且 a≥0． （2）正数的算术平方根只有1个，且为正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根 3 ．重要 公式 ： (1)( )2＝a（a≥0）； ． (2) ＝| a | 4． 11 ~ 20的平方 ： 11 2 =121 ， 12 2 =144 ， 13 2 =169 ， 14 2 =196 ， 15 2 =225 ， 16 2 =256 ， 17 2 =289 ， 18 2 =324 ， 19 2 =361 5．算术平方根的近似值： ≈1．414， ≈1．732 ， ≈2.236 等
知识点3：立方根 1． 定义 如果一个数的立方等于 a ，那么这个数叫做 a 的立方根， a 的立方根记作 （a叫做被开方数，3叫根指数） 2． 性质 （1） 正数的立方根是1个正数；负数的立方根是1个负数；0的立方根是0． （2）立方根等于本身的有3个，分别±1，0； 3．常用的 公式 （1） ； （2） ； （3） ； 特别提醒 (1)非负数 a 的平方根是± √a，算术平方根是√a.(2)不要把“√ a ” 当做是 a 的平方根． (3)只有非负数才有平方根，但任意实数都有立方根．
11．2 实数
知识点1：无理数 1． 无理数：无限不循环的小数． 2． 无理数的三种常见类型 ①根号 型 ； ② 型 ； ③有规律但不循环的无限小数，例如： 1．010010001···（ 每两个 1 之间依次增加一个0）
知识点2：实数的分类 1． 实数： 有理数和无理数统称为实数． 2． 按定义分类：
3． 按正负性分类：
知识点3：实数与数轴上的点的关系 1．数轴上的任一点必定表示一个数，即它所表示的数，不是有理数，就是无理数；反之，每一个实数（有理数或无理数）也都可以用数轴上的点来表示，即 实数与数轴上的点一一对应． 2． 实数 的 大小 比较 ： （1）正数> 0 > 负数； （2）两个负数相比，绝对值大的反而小；绝对值小的反而大 ； （3）数轴上不同的点表示的数，右边点表示的数总比左边的点表示的数大． （4） 求差比较法 设 a ， b 是两个任意实数，则 a － b ＞0 ⇔ a ＞ b ； a － b ＝0 ⇔ a ＝ b ； a － b ＜0 ⇔ a ＜ b ． （5） 求商比较法 设 a ， b 是两个正实数，则 ab ＞1 ⇔ a ＞ b ； ab ＝1 ⇔ a ＝ b ； ab ＜1 ⇔ a ＜ b ． （6） 平方比较法 设 a ， b 是两个负实数，则 a 2 ＞ b 2 ⇔ a ＜ b ；推论： a ＞ b ⇔ a 2 ＞ b2 ( b ≥0)．
知识点4：实数的运算 1．实数中的相反数、绝对值、倒数的概念和有理数中是类似的 （1） 相反数 定义：只有符号不同的两个数互为相反数，即实数 a 的相反数是－ a ． 性质： (1)若 a ， b 互为相反数 ⇔ a ＋ b ＝0； (2)0的相反数是0； (3)数轴上表示相反数(0除外)的两个点在原点两侧，且到原点的距离 相等 ，即这两个点关于原点对称． （2） 绝对值 定义：在数轴上表示数 a 的点与原点的距离，记作| a |． 性质：一个正实数的绝对值是本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 绝对值具有非负性． （3） 倒数 定义：乘积是1的两个数互为倒数，非零实数 a 的倒数是 ． 性质： ① ab ＝1 ⇔ a ， b 互为倒数； ② 0没有倒数； ③ 倒数等于它本身的数是±1． 2． 实数的运算： 实数与有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，正数及零可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算，而且有理数的运算法则和运算律对于实数仍然适用． 3． 实数的混合运算顺序 ： (1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)有括号的先算括号里面的；(3)同级运算按从左到右的顺序进行计算
知识点5：常见的非负数及其应用 1． 常见的几种非负数： | a |， a 2 n ( n 为正整数)， ． 2． 非负数的应用： （1） 若 a 2 ≤0，则 a ＝0； （2） 若 a ＋| b |＝0，则 a ＝0， b ＝0 ；