八年级证明举例中的辅助线的添加方法
通过分析教材中的例题，我们得到了如下的辅助线的添线方法：
在证明举例19.2(5)的学习中，我们接触了在“筝形”和“等腰梯形”中，通过联结对角线证明三角形全等，下面让我们来回顾下这两道题的证明方法：
如上图，为梯形中辅助线的常见方法。本题还可以过点A和点D作BC的垂线，但是这种方法要到八年级下学习了矩形的性质和判定后才能证明。
如上图，通过联结对角线，可以通过构造全等三角形或利用“等边对等角”证明角相等。 在证明举例19.2(6)的学习中，我们通过构造等腰三角形或者利用三线合一定理添加辅助线，从而证明角的倍半关系。 如上图，角的倍半关系常常出现在等腰三角形顶角的外角或者顶角的平分线中，因此这为我们证明角的倍半，添加辅助线提供了思路。 题型1：利用三线合一定理添加辅助线 解法分析：本题其实是典型的“三线合一”模型，AD平分∠BAC，BP⊥AD，因此延长BP交AC于M，构造等腰三角形，将∠ABP转化为∠AMP，只要证明BM=CM，即可得到∠AMP=∠ABP=2∠C. 解法分析：本题其实是典型的“三线合一”模型，AE⊥BD，求证BD平分∠ABC，因此延长AE、BC交于点P.通过证明▲AMC≌▲BCD，得到BD=AM=2AE，问题得证。对于这样的“双垂直”模型，往往利用同(等)角的余角相等寻找等角，也是常见的证明角相等的方式。 对于利用等腰三角形的三线合一添加辅助线，往往采取“补全”的思路，即题目中出现了“角平分线”、“高”或“中线”，将“缺陷”的图形补成一个等腰三角形。 题型2：构造等腰三角形证明线段相等 解法分析：本题最终要证明DF=EF，思路是利用全等三角形证明线段相等，但是显然▲DBF与▲CFE不全等.利用BD=CE，可以采取过点D作CE平行线的方式，进行线段的转化(转化BD)，通过一组等腰三角形，构造全等三角形，继而证明DF=EF. 除了过点D作平行线的方式，还可以截取DP=BD，同样可以证明▲DPF≌▲CFE.本题也可以尝试过点E作AB的平行线构造全等三角形. 解法分析： 本题同第3题一样，需要构造全等三角形，利用BD//CE，可以得到等角∠D=∠E，延长BA至点P，利用∠ABC=∠ACB，得到∠ACE=∠BPC，继而得到BA=AP，进行线段的转化，从而构造全等三角形. 本题也可以延长BD和CA交于点Q，同样转化线段AB，构造全等三角形. 解法分析： 本题的背景是等边三角形，要证明DP=PE，仍旧是构造全等三角形，通过过点D作AB的平行线，转化线段CD，达到构造全等三角形证明线段相等的目的. 对于利用平行线构造全等三角形，其背景往往是等腰或等边三角形，通过“等角对等边”达到边的转化的目的，可以观察到此类构造的全等三角形呈“X”型。 在证明举例19.2(6)的学习中，我们通过倍长中线，构造全等三角形，证明了线段间的等量关系。
如上图，为梯形中辅助线的常见方法。本题还可以过点A和点D作BC的垂线，但是这种方法要到八年级下学习了矩形的性质和判定后才能证明。
如上图，通过联结对角线，可以通过构造全等三角形或利用“等边对等角”证明角相等。 在证明举例19.2(6)的学习中，我们通过构造等腰三角形或者利用三线合一定理添加辅助线，从而证明角的倍半关系。 如上图，角的倍半关系常常出现在等腰三角形顶角的外角或者顶角的平分线中，因此这为我们证明角的倍半，添加辅助线提供了思路。 题型1：利用三线合一定理添加辅助线 解法分析：本题其实是典型的“三线合一”模型，AD平分∠BAC，BP⊥AD，因此延长BP交AC于M，构造等腰三角形，将∠ABP转化为∠AMP，只要证明BM=CM，即可得到∠AMP=∠ABP=2∠C. 解法分析：本题其实是典型的“三线合一”模型，AE⊥BD，求证BD平分∠ABC，因此延长AE、BC交于点P.通过证明▲AMC≌▲BCD，得到BD=AM=2AE，问题得证。对于这样的“双垂直”模型，往往利用同(等)角的余角相等寻找等角，也是常见的证明角相等的方式。 对于利用等腰三角形的三线合一添加辅助线，往往采取“补全”的思路，即题目中出现了“角平分线”、“高”或“中线”，将“缺陷”的图形补成一个等腰三角形。 题型2：构造等腰三角形证明线段相等 解法分析：本题最终要证明DF=EF，思路是利用全等三角形证明线段相等，但是显然▲DBF与▲CFE不全等.利用BD=CE，可以采取过点D作CE平行线的方式，进行线段的转化(转化BD)，通过一组等腰三角形，构造全等三角形，继而证明DF=EF. 除了过点D作平行线的方式，还可以截取DP=BD，同样可以证明▲DPF≌▲CFE.本题也可以尝试过点E作AB的平行线构造全等三角形. 解法分析： 本题同第3题一样，需要构造全等三角形，利用BD//CE，可以得到等角∠D=∠E，延长BA至点P，利用∠ABC=∠ACB，得到∠ACE=∠BPC，继而得到BA=AP，进行线段的转化，从而构造全等三角形. 本题也可以延长BD和CA交于点Q，同样转化线段AB，构造全等三角形. 解法分析： 本题的背景是等边三角形，要证明DP=PE，仍旧是构造全等三角形，通过过点D作AB的平行线，转化线段CD，达到构造全等三角形证明线段相等的目的. 对于利用平行线构造全等三角形，其背景往往是等腰或等边三角形，通过“等角对等边”达到边的转化的目的，可以观察到此类构造的全等三角形呈“X”型。 在证明举例19.2(6)的学习中，我们通过倍长中线，构造全等三角形，证明了线段间的等量关系。
除了倍长中线外，也可过点C作AB的平行线，虽然辅助线的写法不一样，但是证明的全等三角形、进行转换的线段还是一致的。
解法分析：本题要证明CD=2CE，但是CE和CD不在一直线上，由E是AB中点，通过倍长中线(或添加平行线)构造全等三角形，进行线段的转化。
解法分析：本题需要证明线段的和差关系，因此转化线段在一直线上是基本思路。由AD平分∠BAE，通过翻折，使得E在AB上，但是这样的证明却不能实现： 结合D是BC的中点，可以延长AD、CE交于点P，其实也是利用翻折的思想，构造全等三角形，达到线段转化的目的。 对于利用倍长中线法添加辅助线的问题，其特征是“出现中点”，方法是作“平行线”或将“中线加倍”，达到构造全等三角形，进行线段转化的目的，其构造的全等三角形的特征也是“X”型。最新文章
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