无理数是可以理清的（续）
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我们在《无理数是可以理清的》一文中谈到一个观点：即无理数是可以理清的；有理数也存在许多没有理清的数。虽然无理数在展现其数值特征时，其小数部分表现为无限不循环性，即没有任何的规律性，但将二次根式演绎成连分数形态时，却展现出明显的规律性。我们举了
的例子。著名数学家陈景润在将二次根式演绎成连分数时，采用了辗转相除法，从而将二次根式演绎成无限循环连分数，并由此看到了无理数非整数部分也有规律可循的特点。这种特点有其三：其一是连分数是无限的；其二是连分数是和式的（即各分数之间使用的都是“+”号）；其三是连分数各阶的分母是循环的，而各阶的分子都固定为“1”。笔者在探讨连分数时是采用假设的方法，先设连分数各阶的分母都等于ａ，各阶的分子都等于ｂ，然后采取逼近的方法求出其极限，从而反过来找到了二次根式与连分数之间的内在关系，并且可以用公式法迅速地将二次根式演绎成无限全等阶连分数。这样演绎出来的连分数的特点有其四：其一是连分数是无限的；其二是连分数可以是和式的（即各分数之间使用的都是“+”号）；也可以是差式的（即各分数之间使用的都是“－”号）；其三是连分数各阶的分母与分子都是等阶的；其四是连分数具有一定的还原性，即我们可以通过公式再迅速地将连分数还原成二次根式。下面我们简单地介绍一下将二次根式演绎成无限全等阶连分数的几个公式，以进一步证明无理数是可以理清的。
使用上面四个公式就可以迅速将二次根式转化成无限全等阶连分数。例如设 从上面的例子中，可以看到将二次根式转化成无限全等阶连分数以后，我们还可以取连分数的近似分数来对二次根式开平方，只要你尽可能多取几位连分数，你就会得到二次根式比较精确的近似值。上面的几个公式，请参看《与黄金分割有关的级数和数列》一书中的第一章。
当然，我们说无理数是可以理清的，不等于无理数都已经全部理清了，恰恰相反，正像有理数的规律还远远没有理清一样，无理数的规律更是还远远没有理清。对于无理数而言，现在最多也只是在探讨二次根式方面有所进展。三次根式，四次根式，五次根式等等以什么样的规律形态出现还是一个个极其难解的秘密。但是，既然它是一种特殊形式存在的数，那么，它一定有自己存在的特点和规律。相信在众多数学爱好者的努力下，无理数的秘密会一个又一个被揭示开来。 二0一0年十一月三十日随感
使用上面四个公式就可以迅速将二次根式转化成无限全等阶连分数。例如设 从上面的例子中，可以看到将二次根式转化成无限全等阶连分数以后，我们还可以取连分数的近似分数来对二次根式开平方，只要你尽可能多取几位连分数，你就会得到二次根式比较精确的近似值。上面的几个公式，请参看《与黄金分割有关的级数和数列》一书中的第一章。
当然，我们说无理数是可以理清的，不等于无理数都已经全部理清了，恰恰相反，正像有理数的规律还远远没有理清一样，无理数的规律更是还远远没有理清。对于无理数而言，现在最多也只是在探讨二次根式方面有所进展。三次根式，四次根式，五次根式等等以什么样的规律形态出现还是一个个极其难解的秘密。但是，既然它是一种特殊形式存在的数，那么，它一定有自己存在的特点和规律。相信在众多数学爱好者的努力下，无理数的秘密会一个又一个被揭示开来。 二0一0年十一月三十日随感
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