函数综合题中,存在性问题是近年来各地中考的热点。这类题目中图形复杂,不确定因素较多,对学生的知识运用分析能力要求较高,且有一定的难度。为此对比了各种方法,发现借用平移坐标方法法更为巧妙地解出平行四边形的存在性问题。
如图,点A、B、C是坐标平面内不在同一直线上的三点。平面直角坐标系中是否存在点D,使得以A、B、C、D四点为顶点的四边形为平行四边形,如果存在,请求出点D的坐标。
解:如图, 过A、B、C分别作BC、AC、AB的平行线,
则以A、B、C三点为顶点的平行四边形有三个:
以BC为对角线,有□CABD1;
以AC为对角线,有□ABCD2;
以AB为对角线,有□ACBD3.
在□CABD1中,线段AC平移到BD1,
∵A→B横坐标增加(x2-x1 )、纵坐标增加(y2-y1 ),
∴根据坐标平移的性质得D1(x3+x2-x1,y3+y2-y1)。
同理可得:
D2(x3+x1-x2 ,y3+y1-y2 )、D3(x1+x2-x3,y1+y2-y3 ).
因此,以不在同一直线上的三点为顶点的平行四边形有三个。由已知的三点坐标可根据图形平移的坐标性质,直接写出第四个顶点的坐标。
三、总结
平移坐标法的解题思路:先由题目条件画出以三点为顶点的平行四边形,根据坐标平移的性质写出第四个顶点的坐标。最后根据题目的要求(动点在什么曲线上),判断平行四边形的存在性。
平移坐标法的特点:
1、不会遗漏。平移坐标法回避了对复杂图形的相互关系的分析,由画图直接找出所有情况;
2、不需证明。平移坐标法直接写出第四个点的坐标,跨越了复杂的推理过程,回避了繁琐的证明;
3、不限条件。平移坐标法适用范围广,无论定点在什么位置、无论动点在哪几条曲线上、在什么曲线上,都可以探索,真正是以不变应万变。
平移坐标法运用坐标表示平移,其本质是用几何变换去认识几何图形,用代数方法来解决几何问题,体现的是解析几何的思想、数形结合的思想、几何变换的思想。
通过平移直接写出点的坐标实际就是要用代数的方法研究几何问题,加强数形之间的联系,突出数形结合的思想。这启发我们在日常的教学活动中,要加强对新课程的研究,渗透新课程的理念,按照新课程的要求及时渗透数形结合的思想、几何变换的思想,引导学生从不同的角度思考问题,这样才能获得解决问题的新方法、新途径,培养学生探索的能力和创新的意识。
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