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初中数学找规律题的解题方法

初中数学考试中,经常出现数列的找规律题,本文就此类题的解题方法进行探索：

一、基本方法——看增幅

（一）如增幅相等（此实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较,如增幅相等,则第n个数可以表示为：a+(n-1)b,其中a为数列的第一位数,b为增幅,(n-1)b为第一位数到第n位的总增幅.然后再简化代数式a+(n-1)b.

例：4、10、16、22、28……,求第n位数
分析：第二位数起,每位数都比前一位数增加6,增幅相都是6,所以,第n位数是：4+(n-1)×6＝6n－2

（二）如增幅不相等,但是,增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等,也即增幅为等差数列）,如增幅分别为3、5、7、9,说明增幅以同等幅度增加，此种数列第n位的数也有一种通用求法，

基本思路是：1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅；
2、求出第1位到第第n位的总增幅；
3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数.

举例说明：2、5、10、17……,求第n位数
分析：数列的增幅分别为：3、5、7,增幅以同等幅度增加.那么,数列的第n-1位到第n位的增幅是：3+2×(n-2)=2n-1,总增幅为：［3+（2n-1）］×(n-1)÷2＝（n+1）×(n-1)＝n2-1
所以,第n位数是：2+ n2-1= n2+1

此解法虽然较烦,但是此类题的通用解法,当然此题也可用其它技巧,或用分析观察凑的方法求出,方法就简单的多了。

（三）增幅不相等,但是,增幅同比增加,即增幅为等比数列,如：2、3、5、9,17增幅为1、2、4、8

（四）增幅不相等,且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）.此类题大概没有通用解法,只用分析观察的方法,但是,此类题包括第二类的题,如用分析观察法,也有一些技巧。

二、基本技巧

（一）标出序列号：找规律的题目,通常按照一定的顺序给出一系列量,要求我们根据这些已知的量找出一般规律.找出的规律,通常包序列号。所以,把变量和序列号放在一起加以比较,就比较容易发现其中的奥秘。

例如,观察下列各式数：0,3,8,15,24,…….试按此规律写出的第100个数是

解答这一题,可以先找一般规律,然后使用这个规律,计算出第100个数.我们把有关的量放在一起加以比较：
给出的数：0,3,8,15,24,…….

序列号： 1,2,3, 4, 5,…….

容易发现,已知数的每一项,都等于它的序列号的平方减1.因此,第n项是n2-1,第100项是1002-1.

（二）公因式法：每位数分成最小公因式相乘,然后再找规律,看是不是与n2、n3,或2n、3n,或2n、3n有关.

例如：1,9,25,49,（）,（）,的第n为（2n-1）2

（三）看例题：

A： 2、9、28、65.增幅是7、19、37.,增幅的增幅是12、18 答案与3有关且.即：n3+1

B：2、4、8、16.增幅是2、4、8.. .答案与2的乘方有关 即：2n

（四）有的可对每位数同时减去第一位数,成为第二位开始的新数列,然后用（一）（二）（三）技巧找出每位数与位置的关系.再在找出的规律上加上第一位数,恢复到原来

例：2、5、10、17、26……,同时减去2后得到新数列：0、3、8、15、24……,序列号：1、2、3、4、5

分析观察可得,新数列的第n项为：n2-1,所以题中数列的第n项为：（n2-1）+2＝n2+1

（五）有的可对每位数同时加上,或乘以,或除以第一位数,成为新数列,然后,在再找出规律,并恢复到原来
例 ： 4,16,36,64,?,144,196,… ?（第一百个数）

同除以4后可得新数列：1、4、9、16…,很显然是位置数的平方

（六）同技巧（四）（五）一样,有的可对每位数同加、或减、或乘、或除同一数（一般为1、2、3），当然,同时加、或减的可能性大一些,同时乘、或除的不太常见

（七）观察一下,能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列,再分别找规律

三、基本步骤

1、 先看增幅是否相等,如相等,用基本方法（一）解题

2、 如不相等,综合运用技巧（一）、（二）、（三）找规律

3、 如不行,就运用技巧（四）、（五）、（六）,变换成新数列,然后运用技巧（一）、（二）、（三）找出新数列的规律

4、 最后,如增幅以同等幅度增加,则用用基本方法（二）解题

四、练习题

例1：一道初中数学找规律题
0,3,8,15,24,······
2,5,10,17,26,·····
0,6,16,30,48······
（1）第一组有什么规律?
（2）第二、三组分别跟第一组有什么关系?

（3）取每组的第7个数,求这三个数的和?

例2、观察下面两行数 2,4,8,16,32,64,．．．（1）

5,7,11,19,35,67．．．（2）

根据你发现的规律,取每行第十个数,求得他们的和.（要求写出最后的计算结果和详细解题过程.）

例3、白黑白黑黑白黑黑黑白黑黑黑黑白黑黑黑黑黑 排列的珠子,前2002个中有几个是黑的?4、 3^2-1^2=8×1 5^2-3^2=8×2 7^2-5^2=8×3 ……用含有N的代数式表示规律 写出两个连续技术的平方差为888的等式

五、对于数表

1、先看行的规律,然后,以列为单位用数列找规律方法找规律

2、看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差

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