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行程问题-柳卡图

1、关于柳卡图

在十九世纪的一次国际数学会议期间，有一天，正当来自世界各国的许多著名数学家晨宴快要结束的时候，法国数学家柳卡向在场的数学家提出困扰他很久、自认“最困难”的题目：“某轮船公司每天中午都有一艘轮船从哈佛开往纽约，并且每天的同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛。轮船在途中所花的时间来去都是7昼夜，而且都是匀速航行在同一条航线上。问今天中午从哈佛开出的轮船，在开往纽约的航行过程中，将会遇到几艘同一公司的轮船从对面开来?”

此题的叙述如下：

每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛．轮船在途中均要航行七天七夜．试问：某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前（途中）能遇上几艘从纽约开来的轮船？

他先画了如下一幅图：

这是一张运行图．画两条平行线，一条直线表示哈佛，另一条表示纽约．那么，从哈佛或纽约开出的轮船，可用图中的两组平行线簇来表示．图中每条线段分别表示每条船的运行情况．粗线表示从哈佛驶出的轮船在海上的航行，它与其他线段的交点即为与对方开来轮船相遇的情况．

从图中可以看出，某天中午从哈佛开出的一条轮船（图中用实线表示）会与从纽约开出的15艘轮船相遇（图中用虚线表示）．而且在这

相遇的15艘船中，有1艘是在出发时遇到（从纽约刚到达哈佛），1艘是到达纽约时遇到（刚好从纽约开出），剩下13艘则在海上相遇；另

外，还可从图中看到，轮船相遇的时间是每天中午和子夜．如果不仔细思考，可能认为仅遇到7艘轮船．这个错误，主要是只考虑以后开出

的轮船而忽略了已在海上的轮船．

2、在多次相遇里的行程问题应用

多次相遇行程问题的必备工具——柳卡图。柳卡图，也称为折线图，可以很好的解决复杂的行程问题。快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。
其中相遇”两字广义上讲，只要两人在同一地点就算相遇，因次分为两种情况，一种叫做迎面相遇（即我们平时说的相遇问题），一种叫做追及相遇（即我们平时说的追及问题），一般题目说的相遇，我们默认指的是迎面相遇，若题目说只要两人在同一地点算做一次相遇，那么这时两种情况都要算

例7】甲、乙两人在一条长90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米．如果他们同时分别从直路的两端A、B出发，当他们跑了12分钟后，共相遇几次？

【解析】多次相遇，先计算甲乙两人分别走一个全程需要的时间:甲需要30秒，乙需要45秒。而后作如下所示的柳卡图，甲用实线表示，乙用虚线表示。

在180秒内，甲、乙共相遇5次，最后又回到出发的状态。所以甲、乙共相遇了[12÷（180÷60)]×5=20（次）


【补充】

甲、乙两人在一条长为30米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒1米，乙的速度是每秒0.6米．如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了10分钟后，共相遇几次？

首先，甲跑一个全程需要30÷1=30（秒），乙跑一个全程需要30÷0.6=50（秒）．与上题类似，画运行图如下（实线表甲，虚线表示乙，那么实虚两线交点就是甲乙相遇的地点）：

从图中可以看出，当甲跑5个全程时，乙刚好跑3个全程，各自到了不同两端又重新开始，这正好是一周期150秒．在这一周期内两人相遇了5次，所以两人跑10分钟，正好是四个周期，也就相遇5×4=20（次）
备注：一个周期内共有5次相遇，其中第1，2，4，5次是迎面相遇，而第3次是追及相遇。

以上即为关于柳卡图的补充和说明，主要是用于解决多次相遇的一些技巧。关于柳卡图的应用，我们在五年级还将在做补充，把它和“沙漏模型”结合起来学习，到时用来求解距离。若有兴趣者，可以参看我们这一期五年级“2013小升初行程综合”里的一些题目。

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