从圆的基本概念和基本性质说起
王 桥
中考中，并不见得所有题目都是那些涵盖了较多知识点、综合性较强、计算量较大、方法不容易想的“压轴题”，还有些题目，从考察最基本的概念和性质入手，难度也不算很大，但要想真正作对，却不很容易。
下面相关内容均选自《沙场秋点兵》“圆的基本性质”一讲的第一个考点“圆的基本概念和性质”【挑战中考1】“圆的基本概念及性质”的“基础知识”和“典型例题”部分。
（一）基础知识
1、圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形 叫做圆。其中定点称为圆心，定长称为半径。
2、圆的基本性质：同圆或等圆的半径相等。
3、点与圆的位置关系：点在圆外，则这个点到圆心的距离大于半径；点在圆上，则这个点到圆心的距离等于半径；点在圆内，则这个点到圆心的距离小于半径。
4、圆上任意两点和两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。连接圆上任意两点之间的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径——直径是圆内最大的弦。
5、圆的直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫半圆；同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧
（二）典型例题
说明：这5道题目，老王曾经挑选出20名中上等学生进行限时10分钟测试训练，这5道题目的正误情况如下：
题号 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
作对个数 |
5 |
14 |
13 |
18 |
1 |
虽然仅仅是个小范围的测试，但是也是能说明一些问题的。
我们先看例1的第（1）小题：
居然只有5名同学做对。经过分析，第1小题虽然做对了5名同学，但至少2名同学是蒙对的。第1小题不会做或者做错的原因主要有以下几点：
1、任意点恐慌：题目中“P是⊙上任意一点”，许多同学对“任意”不理解，以为点P是不确定的从而导致矩形OMPN的大小形状及位置也是不确定的，以致解题没有策略。关于“任意”问题，咱们在《冲刺十招》第1讲“绝境逢生用'特值’”将会专门讲述。
2、动态旋转恐慌：平移变换、轴对称变换和旋转变换这三大动态全等变换是中考中比较难的内容。这里点P就是“动点”，而关于“动点问题”，我们也将在《冲刺十招》第9讲“搞定'动态问题’”进行专门讲解。其是，这道题目是个“伪动点问题”！
3、轨迹恐慌：“轨迹问题”也是中考中较难的内容。让求点Q运动的路经长，就要判断点Q的轨迹。在还没有进入一轮、二轮复习的时候，估计很少有老师能够有时间给孩子们讲一下什么“瓜豆原理”吧？点P的轨迹是圆弧形，那么点Q的轨迹是什么形状呢？
4、没有圆里面的辅助线策略（如果有时间，咱们再继续探讨下圆里面的辅助线策略）：其实这才是最根本最重要的！
万丈高楼平地起，我们讲方法、讲模型、讲思维、讲思想......基本定义和基本性质才是最基础最重要最根本的。我们知道：圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合；由圆的定义又得到了“同圆或等圆的半径相等”的这个最基本的性质。鉴于此，老王说：几乎圆上的所有点都要和圆心发生关系！这也是圆里的第一条辅助线“做半径”的理论基础（关于辅助线，详见《春季攻势》第15讲“辅助线秘籍”）。
其实这道题目很简单：
老王认为，这道题目考察了圆的基本性质、矩形的性质、弧长的计算等最基本的知识，不失为一道“好题”。
我们再看例1的第（2）小题：
仍然有6名同学做错。正确的答案如图所示：
经过分析，学生大多在以下两个方面出现了问题：一是对题意没有弄明白；二是对图形可能出现的各种情况没有考虑周全。其实，这道题考察了同圆的半径相等、点的坐标的几何意义、勾股数等相关知识，如果再能够灵活运用圆的对称性，则不难找出符合这样的点有12个。
老王认为，这也是一道“好题”！
例2的第（1）小题：
这道题目主要考察点和圆的位置关系，以及“点圆距离”。画出如图1和图2所示的图形即可解答。
很显然，对于图1中，当点P在圆的外部时，此时PA=4，PB=9，则圆的半径为（PA-PB）÷2=（9-4）÷2=2.5；对于图2中，当点P在圆的内部时，此时PA=4，PB=9，则圆的半径为（PA+PB）÷2=（9+4）÷2=6.5；
但是，这个题目也有两个需要突破的地方：一是对题目中“点P是非圆上一点”的理解；二是需要点在圆外和点在圆内两种情况分类讨论；三是对“点圆距离”的理解。
例2的第（2）小题：
这道题目相比较而言是最简单的，考察了含30°角的直角三角形的三边关系（或30°角的三角函数），但是仍然有两个同学不注重分类讨论而漏解。
例2的第（3）小题：
这道题目居然只有1个同学做对，难道真的很难么？
在是你们不妨分析下这道得分率最低的题目：
1、首先，我们要明白：经过圆内某一点的最长的弦是经过这一点的直径（直径的定义是：经过圆心的弦叫做直径。所以直径是圆内最长的弦）；经过圆内某个点的最短的弦，是与过这一点的直径垂直的弦；如图1，CD为经过点P的最长的弦，AB为经过点P的最短的弦；
2、题目中已经知道了圆的半径为5，OP=3，则连接OP，根据勾股定理即可求出AP=4，则AB=8。又∵CD=10，∴经过点P的弦中，弦长为整数的弦的长度只能为8，9，10；
3、其实，比较黑的还在后头：因为圆的对称性，长度为9的弦应该有两条，如图2，所以应该填4.
可惜大多数同学都填了3——忘记了圆的对称性，现场为9的弦应该有2条啊！
老王认为，这仍然是一道“好题”！
这几道题目，你做对了几道呢？
这几道题目都没有太大的计算量，所考察的也都是最基本的概念和性质，但是同学们做的却不甚理想。究竟原因何在呢？
《沙场秋点兵》，好题集中营！——秋季将要结束了！
一轮将至，一轮以夯实基础为主，建立知识系统和方法系统为主。但是，基础知识往往是老师和同学们容易忽略的或者不容易讲清楚的。能把最基础的真正讲明白其实也是很不容易的啊！
一轮复习，你准备好了吗？
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